Inwestujesz €5 000 przy stopie 6 % rocznie z kapitalizacją ciągłą. Wyznacz wartość FV po 2 latach.
PV = €5 000r = 6%t = 2
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Na początku każdego roku przez 29 lat wpłacasz €2 500, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 3 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 29? Wyznacz FV.
A = €2 500i = 3%n = 29
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €20 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €7 000, €6 000, €5 000. Koszt kapitału wynosi 7,000000000000001 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €7 000, €5 500, €4 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 5 500CF3 = 4 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% i zapada za 15 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 6% na 4%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?
F = €1 000kupon = 7%n = 15y1 = 6%y2 = 4%
ΔP = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 4% zostanie wykupiona po 3 latach, a jej cena wynosi €1 030. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 4%n = 3P = €1 030
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €6 000 000 i dług o wartości €6 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 9%, koszt długu przed opodatkowaniem 3,5%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.
Firma ma 5 000 000 akcji notowanych po €32,50; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €81 300 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €2,80 na akcję, a dywidendy rosną o 5% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €81 300 000 i koszt przed opodatkowaniem 3%. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 20, 11, 30, 26, 56.
n = 5
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 52,5.
μ = 60σ = 5x = 52,5
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,15, 0,1, 0,1, 0,3
σ =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 7 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,25. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 7p = 0,25
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,9051. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,9051
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 60% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 100 pktσ = 15 pkt60%
x = pkt
15.Przedziały ufnościŚredni
U 8 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 0,5 i odchylenie standardowe 5,6. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla średniej różnicy.
n = 8d̄ = 0,5sd = 5,690%t(7) = 1,895
górna granica = mmHg
16.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 14. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?
σ = 14E = 1,599%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 25 studentów ma średni wynik 117,5 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 117,5s = 4n = 25
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z dla H₀: μ = 100 przeciw H₁: μ > 100 przeprowadza się na poziomie α = 0,01 na próbie o liczebności 64; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 24. W rzeczywistości średnia wynosi 105,4. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.
μ₀ = 100μ = 105,4σ = 24n = 64α = 0,01
β = %
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 105?
n = 5ŷ = 105
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 5637 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wykładnik
r·t = 0,06·2 = 0,12
e0,12 = 1,127
Wartość przyszła
FV = 5 000·1,127 = €5 637,48
Odpowiedź
FV = €5 637,48
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 116439 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik renty zwykłej
((1 + 0,03)29 − 1)/0,03 = 45,22
Renta płatna z góry
Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.
FV = 2 500·45,22·1,03 = €116 438,54
Odpowiedź
FV = €116 438,54
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −4136 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 7 000/1,07 = 6 542,06
CF2/(1 + 0,07)2 = 6 000/1,145 = 5 240,63
CF3/(1 + 0,07)3 = 5 000/1,225 = 4 081,49
Zsumuj
NPV = €−4 135,82
Odpowiedź
NPV = €−4 135,82
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 33,59 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(30%) = 459,72
NPV(35%) = −171,21
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
IRR ≈ 30 + 5·459,72/(459,72 − (−171,21)) = 33,64%
dokładnie: NPV(33,59%) = 0 → IRR = 33,59%
Odpowiedź
IRR = 33,59%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: ΔP = 236,4 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€1 030 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Rozwiąż numerycznie
P(2%) = €1 057,68, P(3%) = €1 028,29
YTM = 2,941%
Odpowiedź
YTM = 2,941%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 5,883 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·9% + 0,5·3,5%·(1 − 0,21) = 5,883%
Odpowiedź
WACC = 5,883%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 10,15 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (52,5 − 60)/5 = −1,5
Odpowiedź
z = −1,5
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σ = 1,682
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,757 = 0,1335
P(X = 1) = 7·0,25·0,756 = 0,3115
Dodaj
P = 0,1335 + 0,3115 = 0,4449
Odpowiedź
P = 0,4449
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = 1,67
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = (1 + 0,9051)/2 = 0,9525
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,9525 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 1,67
Odpowiedź
z = 1,67
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 96,3 pkt
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,4
z z tablicy
z ≈ −0,25
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 100 − 0,25·15 = 96,3 pkt
Odpowiedź
x = 96,3 pkt
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 4,252 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 7, t = 1,895
Margines błędu
E = 1,895·5,6/√8 = 3,752
Przedział
0,5 ± 3,752 → [−3,252, 4,252]
Odpowiedź
górna granica = 4,252 mmHg
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 579
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (2,576·14/1,5)² = 578
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 579
Odpowiedź
n = 579
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −3,125
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8
Statystyka testowa
t = (117,5 − 120)/0,8 = −3,125
Odpowiedź
t = −3,125
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: β = 70,06 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Krytyczna średnia z próby
SE = 24/√64 = 3
x̄c = 100 + 2,326·3 = 107
z przy prawdziwej średniej
z = (107 − 105,4)/3 = 0,526
Błąd II rodzaju
moc = P(Z > 0,526) = 29,94%
β = 100% − 29,94% = 70,06%
Odpowiedź
β = 70,06%
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9483
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 5460 − 114·278/6 = 178
Sxx = 2236 − 114²/6 = 70
Syy = 13384 − 278²/6 = 503,3
Współczynnik korelacji
r = 178/√(70·503,3) = 0,9483
Odpowiedź
r = 0,9483
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 21,97
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 447/5 = 89,4
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 210
Prosta regresji
b = 210/40 = 5,25
a = 89,4 − 5,25·19 = −10,35
ŷ = −10,35 + 5,25·x
Wyznacz x
x = (105 − (−10,35))/5,25 = 21,97
Odpowiedź
x = 21,97
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.