Inwestujesz €20 000 przy stopie 2 % rocznie z kapitalizacją ciągłą. Wyznacz wartość FV po 9 latach.
PV = €20 000r = 2%t = 9
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Na początku każdego roku przez 15 lat wpłacasz €1 000, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 3 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 15? Wyznacz FV.
A = €1 000i = 3%n = 15
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €60 000, działa przez 10 lat, a jej eksploatacja kosztuje €3 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.
C0 = €60 000M = €3 000n = 10r = 12%
EAC = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €33 500, €20 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −50 000CF1 = 33 500CF2 = 20 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 4 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €982, gdy rentowność do wykupu wynosi 5%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.
F = €1 000n = 4P = €982YTM = 5%
c = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 8% zostanie wykupiona po 10 latach, a jej cena wynosi €1 145. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 8%n = 10P = €1 145
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,6. Jej koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stawka podatku 21%. Wyznacz WACC.
D/E = 0,6re = 10%rd = 4%T = 21%
WACC = %
8.CAPM i WACCTrudny
Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €5 000 000 i koszcie 14%. Jej dług stanowi 5 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 6%, 9 lat do wykupu), notowanych po €1 109 za sztukę. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 30, 19, 35, 12, 39.
n = 5
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 44.
μ = 60σ = 20x = 44
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,3, 0,1
σ =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 9 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,25. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 9p = 0,25
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,0274. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,0274
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 90% wszystkich wartości (90. percentyl).
μ = 178σ = 7P = 90%
x = cm
15.Przedziały ufnościŚredni
U 15 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 1,7 i odchylenie standardowe 6,6. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95 % dla średniej różnicy.
n = 15d̄ = 1,7sd = 6,695%t(14) = 2,145
E = mmHg
16.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 36. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5?
σ = 36E = 2,599%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 81 studentów ma średni wynik 198,3 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 198,3s = 5n = 81
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 1,5 jednostek z mocą 80 %. Odchylenie standardowe wynosi 6. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,01moc = 80%δ = 1,5σ = 6zα = 2,326zβ = 0,842
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (5, 17). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 5(5, 17)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 23944 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wykładnik
r·t = 0,02·9 = 0,18
e0,18 = 1,197
Wartość przyszła
FV = 20 000·1,197 = €23 944,35
Odpowiedź
FV = €23 944,35
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 19157 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik renty zwykłej
((1 + 0,03)15 − 1)/0,03 = 18,6
Renta płatna z góry
Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.
FV = 1 000·18,6·1,03 = €19 156,88
Odpowiedź
FV = €19 156,88
3.NPV i IRR
Odpowiedź: EAC = 13619 €
Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − 1,12−10)/0,12 = 5,65
Zannualizowana cena zakupu
60 000/5,65 = 10 619,05
EAC
EAC = 10 619,05 + 3 000 = €13 619,05
Odpowiedź
EAC = €13 619,05
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 5,07 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(5%) = 45,35
NPV(10%) = −3 016,53
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
IRR ≈ 5 + 5·45,35/(45,35 − (−3 016,53)) = 5,074%
dokładnie: NPV(5,07%) = 0 → IRR = 5,07%
Odpowiedź
IRR = 5,07%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: c = 4,492 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wartość bieżąca wartości nominalnej
1000·(1 + 0,05)−4 = €822,70
Kupon
C = (982 − 822,70)/3,546 = €44,92
Oprocentowanie kuponu
c = 44,92/1000 = 4,492%
Odpowiedź
c = 4,492%
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 6,027 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi z D/E
E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625
D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375
WACC
WACC = 0,625·10% + 0,375·4%·(1 − 0,21) = 7,435%
Odpowiedź
WACC = 7,435%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,508 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 135/5 = 27
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 3² + (−8)² + 8² + (−15)² + 12² = 506
Odchylenie standardowe
s = √(506/4) = 11,25
Odpowiedź
s = 11,25
10.Statystyka opisowa
Odpowiedź: z = −0,8
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (44 − 60)/20 = −0,8
Odpowiedź
z = −0,8
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σ = 10,14
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,759 = 0,07508
P(X = 1) = 9·0,25·0,758 = 0,2253
Dodaj
P = 0,07508 + 0,2253 = 0,3003
Odpowiedź
P = 0,3003
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = 1,92
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = 1 − 0,0274 = 0,9726
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,9726 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 1,92
Odpowiedź
z = 1,92
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 187 cm
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Powrót do x
x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm
Odpowiedź
x = 186,97 cm
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 3,655 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 14, t = 2,145
Margines błędu
E = 2,145·6,6/√15 = 3,655
Odpowiedź
E = 3,655 mmHg
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 1376
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (2,576·36/2,5)² = 1376
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 1376
Odpowiedź
n = 1376
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −3,06
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556
Statystyka testowa
t = (198,3 − 200)/0,5556 = −3,06
Odpowiedź
t = −3,06
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 161
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = ((2,326 + 0,842)·6/1,5)² = 160,6
Zaokrąglij w górę
n = 161
Odpowiedź
n = 161
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9398
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 56/5 = 11,2
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 44
Syy = Σ(y − ȳ)² = 54,8
Współczynnik korelacji
r = 44/√(40·54,8) = 0,9398
Odpowiedź
r = 0,9398
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = 3,15
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 82/5 = 16,4
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102
Prosta regresji
b = 102/40 = 2,55
a = 16,4 − 2,55·6 = 1,1
ŷ = 1,1 + 2,55·x
Wartość przewidywana
ŷ = 1,1 + 2,55·5 = 13,85
Reszta
e = 17 − 13,85 = 3,15
Odpowiedź
e = 3,15
Punkt leży nad prostą.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.