Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €1 000 przy stopie 4 % rocznie z kapitalizacją ciągłą. Wyznacz wartość FV po 5 latach.

PV = €1 000r = 4%t = 5

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt hipoteczny €300 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 25 lat przy 2,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile pozostaje do spłaty tuż po racie na koniec roku 14? Wyznacz saldo zadłużenia B.

P = €300 0002,4% / 12N = 300k = 168

B = €

3.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €60 000. Przynosi €12 000 na koniec każdego roku przez 5 lat, a potem można ją sprzedać za €9 000. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €60 000CF = €12 000S = €9 000n = 5r = 12%

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €4 000, €5 000, €7 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 5 000CF₃ = 7 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4,5% i zapada za 9 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 9% na 7%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 4,5%n = 9y₁ = 9%y₂ = 7%

ΔP = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 8% zostanie wykupiona po 5 latach, a jej cena wynosi €940. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 8%n = 5P = €940

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,5. Jej koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stawka podatku 25,8%. Wyznacz WACC.

D/E = 0,5r_e = 13%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 0,8. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,75. Stawka podatku wynosi 21%, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a rynkowa premia za ryzyko 4%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e przy nowej strukturze kapitału.

β_U = 0,8D/E = 0,75T = 21%r_f = 3,5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 44, 28, 55, 34, 37.

n = 5

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 8. Wyznacz wynik z z dla wyniku 66.

μ = 70σ = 8x = 66

z =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

σ =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €2. Wygrywasz €6 z prawdopodobieństwem 0,1 i €40 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €2€6: p = 0,1€40: p = 0,01

E(G) = €

13.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Jaka część wartości leży między 490 a 534 h? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 500σ = 40x₁ = 490x₂ = 534

P =

14.Rozkład normalnyTrudny

Czas okrążenia X biegacza A i czas okrążenia Y biegacza B są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 52 s i odchylenie standardowe 4 s, Y ma średnią 48 s i odchylenie standardowe 3 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.Przedziały ufnościŚredni

Przedział ufności 90 % dla średniej, oparty na 100 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 8,1. Jaki będzie margines błędu E₂, jeśli to samo badanie obejmie 400 obserwacji?

90%n₁ = 100E₁ = 8,1n₂ = 400

E₂ =

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 24. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?

σ = 24E = 0,599%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 100 studentów ma średni wynik 51,7 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51,7s = 10n = 100

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 25 pomiarów ma średnią 505,4. Odchylenie standardowe populacji wynosi 10. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 90 % dla średniej.

x̄ = 505,4σ = 10n = 2590%

L =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5Σx = 20Σy = 155Σx² = 90Σy² = 4861Σxy = 636

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 14?

n = 6ŷ = 14

x =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 1221 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Wykładnik

r·t = 0,04·5 = 0,2

e^0,2 = 1,221

Wartość przyszła

FV = 1 000·1,221 = €1 221,40

Odpowiedź

FV = €1 221,40

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: B = 154255 €

Rata miesięczna

i = 0,002, N = 300

A = 300 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻³⁰⁰) = €1 330,79

Wartość bieżąca pozostałych rat

To, co pozostaje do spłaty, musi zostać dokładnie spłacone pozostałymi ratami.

N − k = 300 − 168 = 132

B = 1331·(1 − (1 + 0,002)⁻¹³²)/0,002 = €154 254,71

Odpowiedź

B = €154 254,71

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −11636 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca rocznych przepływów

12 000·3,605 = 43 257,31

Wartość bieżąca wartości końcowej

9 000/1,762 = 5 106,84

NPV

NPV = −60 000 + 43 257,31 + 5 106,84 = −€11 635,84

Odpowiedź

NPV = −€11 635,84

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 26,45 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(25%) = 240,00

NPV(30%) = −550,75

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 25 + 5·240,00/(240,00 − (−550,75)) = 26,52%

dokładnie: NPV(26,45%) = 0 → IRR = 26,45%

Odpowiedź

IRR = 26,45%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = 106,9 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €45,00, i = 0,09, N = 9

€45,00·(1 − 0,4604)/0,09 + €1 000·0,4604 = €269,79 + €460,43 = €730,21

Cena przy nowej rentowności

C = €45,00, i = 0,07, N = 9

€45,00·(1 − 0,5439)/0,07 + €1 000·0,5439 = €293,19 + €543,93 = €837,12

Zmiana

ΔP = 837,12 − 730,21 = €106,91

Odpowiedź

ΔP = €106,91

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 9,565 %

Równanie dla rentowności

€940 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Rozwiąż numerycznie

P(9%) = €961,10, P(10%) = €924,18

YTM = 9,565%

Odpowiedź

YTM = 9,565%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,903 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi z D/E

E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667

D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·13% + 0,3333·5%·(1 − 0,258) = 9,903%

Odpowiedź

WACC = 9,903%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 8,596 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Beta lewarowana

β_L = 0,8·(1 + 0,79·0,75) = 1,274

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,274·4% = 8,596%

Odpowiedź

r_e = 8,596%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 10,36

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 198/5 = 39,6

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 4,4² + (−11,6)² + 15,4² + (−5,6)² + (−2,6)² = 429,2

Odchylenie standardowe

s = √(429,2/4) = 10,36

Odpowiedź

s = 10,36

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −0,5

Standaryzuj

z = (66 − 70)/8 = −0,5

Odpowiedź

z = −0,5

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 0,8367

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Wariancja

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

σ = √0,7 = 0,8367

Odpowiedź

σ = 0,8367

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = −1 €

Wyniki netto

G: 4 (p = 0,1), 38 (p = 0,01), −2 (p = 0,89)

Wartość oczekiwana

E(G) = 4·0,1 + 38·0,01 − 2·0,89 = −1 €

Odpowiedź

E(G) = −1 €

Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,401

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (490 − 500)/40 = −0,25

z₂ = (534 − 500)/40 = 0,85

Pole pomiędzy

P = Φ(0,85) − Φ(−0,25) = 0,8023 − 0,4013 = 0,401

Odpowiedź

P = 0,401

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7881

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standaryzuj

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Odpowiedź

P = 0,7881

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: E₂ = 4,05

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Stosunek marginesów

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(100/400) = 0,5

Nowy margines

E₂ = 8,1·0,5 = 4,05

Odpowiedź

E₂ = 4,05

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 15289

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (2,576·24/0,5)² = 15289

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 15289

Odpowiedź

n = 15289

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,7

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

Statystyka testowa

t = (51,7 − 50)/1 = 1,7

Odpowiedź

t = 1,7

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 502,1

Margines błędu

E = 1,645·10/√25 = 3,29

Granica przedziału

L = 505,4 − 3,29 = 502,1

Odpowiedź

L = 502,1

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,6761

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 636 − 20·155/5 = 16

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 4861 − 155²/5 = 56

Współczynnik korelacji

r = 16/√(10·56) = 0,6761

Odpowiedź

r = 0,6761

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 3,111

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 169/6 = 28,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 255

Prosta regresji

b = 255/70 = 3,643

a = 28,17 − 3,643·7 = 2,667

ŷ = 2,667 + 3,643·x

Wyznacz x

x = (14 − 2,667)/3,643 = 3,111

Odpowiedź

x = 3,111

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income