Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 4 lat potrzebujesz €20 000. Konto daje 4,8 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €20 0004,8% / 4n = 4

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €150 na koniec każdego miesiąca przez 14 lat. Konto daje 3,6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €1503,6% / 12N = 168

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €32 000, €27 000, €21 000. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 12%CF₀ = −75 000CF₁ = 32 000CF₂ = 27 000CF₃ = 21 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €18 000, €28 500, €28 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −40 000CF₁ = 18 000CF₂ = 28 500CF₃ = 28 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 11 latach. Rentowność do wykupu wynosi 2,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 4%YTM = 2,5%n = 11

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% i zapada za 4 lat. Rentowność do wykupu wynosi 8%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 2%n = 4YTM = 8%

D = lata

7.CAPM i WACCŚredni

Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €5 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €500 000 i długiem o wartości €4 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt akcji uprzywilejowanych 7,5%, a koszt długu przed opodatkowaniem 6%. Stawka podatku wynosi 25%. Wyznacz WACC.

E = €5 000 000P_s = €500 000D = €4 000 000r_e = 13%r_p = 7,5%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €12 000 000 i koszcie 14%. Jej dług stanowi 8 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 4%, 5 lat do wykupu), notowanych po €936 za sztukę. Stawka podatku wynosi 20%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €12 000 000r_e = 14%obligacje: 8 000 × €936kupon = 4%n = 5T = 20%

WACC = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 20, 37, 47, 29, 47.

n = 5

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży poniżej 10?

μ = 50σ = 20x = 10

P =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 5 osób z grupy 12 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 12k = 5

N =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 12 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,2. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 12p = 0,2

P =

13.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,9693. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,9693

z =

14.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 25% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 178 cmσ = 7 cm25%

x = cm

15.Przedziały ufnościŚredni

Próba 21 elementów ma średnią 86 i odchylenie standardowe s = 19. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 21x̄ = 86s = 1990%t(20) = 1,725

górna granica =

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 35. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?

σ = 35E = 1,595%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 49 studentów ma średni wynik 102,6 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 102,6s = 15n = 49

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 2 jednostek z mocą 95 %. Odchylenie standardowe wynosi 9. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,01moc = 95%δ = 2σ = 9z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5Σx = 25Σy = 352Σx² = 165Σy² = 25318Σxy = 1902

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 74?

n = 5ŷ = 74

x =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 16525 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,048/4 = 0,012

N = 4·4 = 16

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,21 = €16 525,01

Odpowiedź

PV = €16 525,01

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 32704 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·14 = 168

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1,654 − 1)/0,003 = €32 704,05

Odpowiedź

FV = €32 704,05

Sam wpłaciłeś €25 200; reszta to odsetki.

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −9957 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 32 000/1,12 = 28 571,43

CF₂/(1 + 0,12)² = 27 000/1,254 = 21 524,23

CF₃/(1 + 0,12)³ = 21 000/1,405 = 14 947,39

Zsumuj

NPV = €−9 956,95

Odpowiedź

NPV = €−9 956,95

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 35,61 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(35%) = 351,57

NPV(40%) = −2 397,96

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 35 + 5·351,57/(351,57 − (−2 397,96)) = 35,64%

dokładnie: NPV(35,61%) = 0 → IRR = 35,61%

Odpowiedź

IRR = 35,61%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1143 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €20,00, i = 0,0125, N = 22

Wartość bieżąca kuponów

€20,00·(1 − 0,7609)/0,0125 = €382,61

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,7609 = €760,87

Cena

P = €1 143,48

Odpowiedź

P = €1 143,48

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 3,868 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 20/1,08 = 18,52, t·PV = 18,52

t = 2: 20/1,166 = 17,15, t·PV = 34,29

t = 3: 20/1,26 = 15,88, t·PV = 47,63

t = 4: 1020/1,36 = 749,73, t·PV = 2 998,92

Duration

P = 801,27

D = 3 099,36/801,27 = 3,868

Odpowiedź

D = 3,868 lata

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,132 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = 5 000 000 + 500 000 + 4 000 000 = €9 500 000

E/V = 0,5263, P_s/V = 0,05263, D/V = 0,4211

WACC

WACC = 0,5263·13% + 0,05263·7,5% + 0,4211·6%·(1 − 0,25) = 9,132%

Odpowiedź

WACC = 9,132%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 10,31 %

Koszt długu (YTM)

936 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1000/(1 + y)⁵

y = 5,499%

Wartości rynkowe

D = 8 000·€936 = €7 488 000

V = €19 488 000, E/V = 0,6158, D/V = 0,3842

WACC

WACC = 0,6158·14% + 0,3842·5,499%·(1 − 0,2) = 10,31%

Odpowiedź

WACC = 10,31%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 11,7

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 180/5 = 36

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−16)² + 1² + 11² + (−7)² + 11² = 548

Odchylenie standardowe

s = √(548/4) = 11,7

Odpowiedź

s = 11,7

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,02275

Standaryzuj

z = −2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Odpowiedź

P = 0,02275

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 792

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(12, 5) = (12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1) = 792

Odpowiedź

N = 792

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2749

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,8¹² = 0,06872

P(X = 1) = 12·0,2·0,8¹¹ = 0,2062

Dodaj

P = 0,06872 + 0,2062 = 0,2749

Odpowiedź

P = 0,2749

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = −1,87

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,9693 = 0,0307

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,0307 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = −1,87

Odpowiedź

z = −1,87

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 182,7 cm

Pole po lewej

Φ(z) = 0,75

z z tablicy

z ≈ 0,67

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 178 + 0,67·7 = 182,7 cm

Odpowiedź

x = 182,7 cm

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 93,15

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Margines błędu

E = 1,725·19/√21 = 7,152

Przedział

86 ± 7,152 → [78,85, 93,15]

Odpowiedź

górna granica = 93,15

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 2092

Wyznacz n

n = (1,96·35/1,5)² = 2092

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 2092

Odpowiedź

n = 2092

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,213

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

Statystyka testowa

t = (102,6 − 100)/2,143 = 1,213

Odpowiedź

t = 1,213

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 320

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((2,326 + 1,645)·9/2)² = 319,3

Zaokrąglij w górę

n = 320

Odpowiedź

n = 320

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9687

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 1902 − 25·352/5 = 142

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 25318 − 352²/5 = 537,2

Współczynnik korelacji

r = 142/√(40·537,2) = 0,9687

Odpowiedź

r = 0,9687

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 7

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 347/5 = 69,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 184

Prosta regresji

b = 184/40 = 4,6

a = 69,4 − 4,6·6 = 41,8

ŷ = 41,8 + 4,6·x

Wyznacz x

x = (74 − 41,8)/4,6 = 7

Odpowiedź

x = 7

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income