Inwestujesz €2 000 przy nominalnej stopie 4,8 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 7 latach.
PV = €2 0004,8% / 4n = 7
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €25 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 7 lat przy 7,2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?
P = €25 0007,2% / 12N = 84
I = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €37 000, €21 000, €31 000, €29 000. Koszt kapitału wynosi 15 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Inwestycja €25 000 przynosi €3 000 na koniec każdego roku przez 10 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
C0 = €25 000CF = €3 000n = 10
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 9 latach. Rentowność do wykupu wynosi 2,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 7%YTM = 2,5%n = 9
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 4% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €1 080. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 4%n = 9P = €1 080
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej WACC wynosi 11,13%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stawka podatku 21%. Wyznacz koszt kapitału własnego re.
Spółka ma 1 000 000 akcji po €43,00 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €1 050 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4%, a stopa podatkowa 25,8%. Współczynnik beta akcji to 0,8, stopa wolna od ryzyka 1%, a stopa zwrotu z rynku 5,5%. Wyznacz WACC.
β = 0,8rf = 1%rm = 5,5%rd = 4%T = 25,8%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 29, 29, 49, 17, 18, 23, 58.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 8. Wyznacz wynik z z dla wyniku 62.
μ = 70σ = 8x = 62
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 2 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 2
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 8 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,7, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 4 poprawnych odpowiedzi?
n = 8p = 0,7k = 4
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Masy pudeł są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 12 kg i odchyleniem standardowym 0,8 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 6 z nich przekroczy 75,9 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6> 75,9 kg
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,02 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
otwór: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Przedziały ufnościŚredni
U 9 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią −7,2 i odchylenie standardowe 7,4. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95 % dla średniej różnicy.
n = 9d̄ = −7,2sd = 7,495%t(8) = 2,306
dolna granica = mmHg
16.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 21 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 1,7 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 20 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 9,591, a 2,5 % powyżej 34,17.
n = 21s = 1,7 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 36 studentów ma średni wynik 124 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 124s = 20n = 36
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 25 pomiarów ma średnią 197,6. Odchylenie standardowe populacji wynosi 12. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 95 % dla średniej.
x̄ = 197,6σ = 12n = 2595%
U =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6Σx = 21Σy = 104Σx² = 91Σy² = 1924Σxy = 318
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 21?
n = 6ŷ = 21
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 2793 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Rata miesięczna
i = 0,006, N = 84
A = 25 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)−84) = €379,77
Łączne odsetki
I = N·A − P = 84·379,8 − 25 000 = €6 900,34
Odpowiedź
I = €6 900,34
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 10017 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 37 000/1,15 = 32 173,91
CF2/(1 + 0,15)2 = 21 000/1,322 = 15 879,02
CF3/(1 + 0,15)3 = 31 000/1,521 = 20 383,00
CF4/(1 + 0,15)4 = 29 000/1,749 = 16 580,84
Zsumuj
NPV = €10 016,78
Odpowiedź
NPV = €10 016,78
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 3,46 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wymagany współczynnik renty
(1 − (1 + i)−10)/i = 25 000/3 000 = 8,333
Wyznacz stopę
Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.
i = 3%: 8,53
i = 4%: 8,111
IRR = 3,46%
Odpowiedź
IRR = 3,46%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 1361 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €35,00, i = 0,0125, N = 18
Wartość bieżąca kuponów
€35,00·(1 − 0,7996)/0,0125 = €561,03
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,7996 = €799,63
Cena
P = €1 360,66
Odpowiedź
P = €1 360,66
Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 2,974 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€1 080 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Rozwiąż numerycznie
P(2%) = €1 163,24, P(3%) = €1 077,86
YTM = 2,974%
Odpowiedź
YTM = 2,974%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 14 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
Część dłużna WACC
0,2857·5%·(1 − 0,21) = 1,129%
Koszt kapitału własnego
re = (11,13% − 1,129%)/0,7143 = 14%
Odpowiedź
re = 14%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 4,28 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (62 − 70)/8 = −1
Odpowiedź
z = −1
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,3056
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Odpowiedź
P = 0,3056
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,1361
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy całkowitej
μT = 72 kg, σT = 0,8·√6 = 1,96 kg
Standaryzuj
z = (75,9 − 72)/1,96 = 1,99
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(1,99) = 0,0233
Odpowiedź
P = 0,0233
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,7881
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm
Standaryzuj
z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Odpowiedź
P = 0,7881
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −12,89 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 8, t = 2,306
Margines błędu
E = 2,306·7,4/√9 = 5,688
Przedział
−7,2 ± 5,688 → [−12,89, −1,512]
Odpowiedź
dolna granica = −12,89 mmHg
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 1,301 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 20·1,7² = 57,8
Granice dla σ²
57,8/34,17 = 1,692
57,8/9,591 = 6,026
Granica dla σ
σ = √1,692 = 1,301 µm
Odpowiedź
σ = 1,301 µm
Przedział 95 % dla σ: [1,301, 2,455] µm.
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 1,2
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333
Statystyka testowa
t = (124 − 120)/3,333 = 1,2
Odpowiedź
t = 1,2
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 202,3
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,96·12/√25 = 4,704
Granica przedziału
U = 197,6 + 4,704 = 202,3
Odpowiedź
U = 202,3
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = −0,9983
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 318 − 21·104/6 = −46
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1924 − 104²/6 = 121,3
Współczynnik korelacji
r = −46/√(17,5·121,3) = −0,9983
Odpowiedź
r = −0,9983
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 1,34
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 106/6 = 17,67
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Prosta regresji
b = −27/17,5 = −1,543
a = 17,67 − (−1,543)·3,5 = 23,07
ŷ = 23,07 − 1,543·x
Wyznacz x
x = (21 − 23,07)/(−1,543) = 1,34
Odpowiedź
x = 1,34
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.