Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Renta wypłaca €3 000 na koniec każdego roku przez 10 lat. Stopa procentowa wynosi 10 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.

A = €3 000i = 10%n = 10

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €150 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 20 lat. Oprocentowanie wynosi 3,6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €150 0003,6% / 12N = 240

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €28 000, €33 000, €29 000, €19 000. Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 5%CF₀ = −75 000CF₁ = 28 000CF₂ = 33 000CF₃ = 29 000CF₄ = 19 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €10 500, €9 000, €12 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 500CF₂ = 9 000CF₃ = 12 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 7 latach. Rentowność do wykupu wynosi 7% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 4%YTM = 7%n = 7

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4,5% i zapada za 3 lat. Rentowność do wykupu wynosi 5,5%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 4,5%n = 3YTM = 5,5%

D = lata

7.CAPM i WACCŚredni

Firma ma kapitał własny o wartości €4 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej WACC wynosi 6,67%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stawka podatku 20%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e.

E = €4 000 000D = €2 000 000WACC = 6,67%r_d = 5%T = 20%

r_e = %

8.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €5 000 000 i koszcie 10%. Jej dług stanowi 8 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 4%, 6 lat do wykupu), notowanych po €1 027 za sztukę. Stawka podatku wynosi 25,8%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €5 000 000r_e = 10%obligacje: 8 000 × €1 027kupon = 4%n = 6T = 25,8%

WACC = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 18, 13, 18, 16, 40.

n = 5

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 12. Wyznacz wynik z z dla wyniku 185.

μ = 170σ = 12x = 185

z =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,25, 0,35, 0,1, 0,15

σ =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 11 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,3, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 4 poprawnych odpowiedzi?

n = 11p = 0,3k = 4

P =

13.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 120 mm i odchyleniem standardowym 0,3 mm; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 80 mm i odchyleniem standardowym 0,4 mm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 200,4 mm. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,4 mm

P =

14.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 10% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

15.Przedziały ufnościŚredni

Przedział ufności 99 % dla średniej, oparty na 36 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 9,5. Jaki jest margines błędu E₂ przedziału 90 % opartego na 72 obserwacjach?

99%n₁ = 36E₁ = 9,590%n₂ = 72

E₂ =

16.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 15 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 9,4 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 14 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 5,629, a 2,5 % powyżej 26,119.

n = 15s = 9,4 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 16 studentów ma średni wynik 112,2 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 112,2s = 12n = 16

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 25 pomiarów ma średnią 48,4. Odchylenie standardowe populacji wynosi 20. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 48,4σ = 20n = 2595%

U =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 69?

n = 6ŷ = 69

x =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 18434 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3855)/0,1 = 6,145

Wartość bieżąca

PV = 3 000·6,145 = €18 433,70

Odpowiedź

PV = €18 433,70

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 877,7 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·20 = 240

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,4873

A = 150 000·0,003/(1 − 0,4873) = €877,67

Odpowiedź

A = €877,67

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 22281 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 28 000/1,05 = 26 666,67

CF₂/(1 + 0,05)² = 33 000/1,103 = 29 931,97

CF₃/(1 + 0,05)³ = 29 000/1,158 = 25 051,29

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 19 000/1,216 = 15 631,35

Zsumuj

NPV = €22 281,28

Odpowiedź

NPV = €22 281,28

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 26,83 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(25%) = 560,00

NPV(30%) = −908,06

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 25 + 5·560,00/(560,00 − (−908,06)) = 26,91%

dokładnie: NPV(26,83%) = 0 → IRR = 26,83%

Odpowiedź

IRR = 26,83%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 836,2 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €20,00, i = 0,035, N = 14

Wartość bieżąca kuponów

€20,00·(1 − 0,6178)/0,035 = €218,41

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,6178 = €617,78

Cena

P = €836,19

Odpowiedź

P = €836,19

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 2,871 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 45/1,055 = 42,65, t·PV = 42,65

t = 2: 45/1,113 = 40,43, t·PV = 80,86

t = 3: 1045/1,174 = 889,94, t·PV = 2 669,81

Duration

P = 973,02

D = 2 793,32/973,02 = 2,871

Odpowiedź

D = 2,871 lata

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 8,005 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

Część dłużna WACC

0,3333·5%·(1 − 0,2) = 1,333%

Koszt kapitału własnego

r_e = (6,67% − 1,333%)/0,6667 = 8,005%

Odpowiedź

r_e = 8,005%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,395 %

Koszt długu (YTM)

1027 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1000/(1 + y)⁶

y = 3,493%

Wartości rynkowe

D = 8 000·€1 027 = €8 216 000

V = €13 216 000, E/V = 0,3783, D/V = 0,6217

WACC

WACC = 0,3783·10% + 0,6217·3,493%·(1 − 0,258) = 5,395%

Odpowiedź

WACC = 5,395%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 10,82

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 105/5 = 21

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−3)² + (−8)² + (−3)² + (−5)² + 19² = 468

Odchylenie standardowe

s = √(468/4) = 10,82

Odpowiedź

s = 10,82

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1,25

Standaryzuj

z = (185 − 170)/12 = 1,25

Odpowiedź

z = 1,25

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,236

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,15 + 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,1 + 4·0,15 = 1,85

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,1 + 16·0,15 = 4,95

Wariancja

Var(X) = 4,95 − 1,85² = 1,527

σ = √1,527 = 1,236

Odpowiedź

σ = 1,236

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2201

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Wzór dwumianowy

P(X = 4) = 330·0,3⁴·0,7⁷ = 330·0,0081·0,08235 = 0,2201

Odpowiedź

P = 0,2201

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,2119

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standaryzuj

z = (200,4 − 200)/0,5 = 0,8

Górny ogon

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Odpowiedź

P = 0,2119

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 551 h

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,9

z z tablicy

z ≈ 1,28

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 500 + 1,28·40 = 551 h

Odpowiedź

x = 551 h

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: E₂ = 4,29

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Stosunek marginesów

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(36/72) = 0,4515

Nowy margines

E₂ = 9,5·0,4515 = 4,29

Odpowiedź

E₂ = 4,29

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 6,882 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 14·9,4² = 1237

Granice dla σ²

1237/26,119 = 47,36

1237/5,629 = 219,8

Granica dla σ

σ = √47,36 = 6,882 µm

Odpowiedź

σ = 6,882 µm

Przedział 95 % dla σ: [6,882, 14,82] µm.

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −2,6

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

Statystyka testowa

t = (112,2 − 120)/3 = −2,6

Odpowiedź

t = −2,6

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 56,24

Margines błędu

E = 1,96·20/√25 = 7,84

Granica przedziału

U = 48,4 + 7,84 = 56,24

Odpowiedź

U = 56,24

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9934

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 100/5 = 20

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 274

Współczynnik korelacji

r = 104/√(40·274) = 0,9934

Odpowiedź

r = 0,9934

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 18,64

Średnie

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 469/6 = 78,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 505,5

Prosta regresji

b = 505,5/157,5 = 3,21

a = 78,17 − 3,21·21,5 = 9,162

ŷ = 9,162 + 3,21·x

Wyznacz x

x = (69 − 9,162)/3,21 = 18,64

Odpowiedź

x = 18,64

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income