Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 17,5 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.
r = 17,5%m = 4
EAR = %
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €200 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 25 lat. Oprocentowanie wynosi 4,8 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €200 0004,8% / 12N = 300
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €30 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €9 000, €7 000, €6 000, €15 000. Koszt kapitału wynosi 7,000000000000001 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Inwestycja €20 000 przynosi €5 500 na koniec każdego roku przez 8 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
C0 = €20 000CF = €5 500n = 8
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 7 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 7%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 5%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 4%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 7%n = 7y0 = 5%y1 = 4%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 5 lat. Kosztuje €1 180. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.
F = €1 000kupon = 8% (2×)n = 5P = €1 180
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €6 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 9%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stopa podatkowa 28%. Wyznacz WACC.
E = €6 000 000D = €1 000 000re = 9%rd = 4%T = 28%
WACC = %
8.CAPM i WACCTrudny
Akcje firmy mają betę 1,1 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,4. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 0,6. Stawka podatku wynosi 28%, stopa wolna od ryzyka 2%, a rynkowa premia za ryzyko 6%. Wyznacz koszt kapitału własnego re po zmianie.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 54, 45, 41, 23, 43, 14, 47.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 15. Wyznacz wynik z z dla wyniku 82,5.
μ = 60σ = 15x = 82,5
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 3 osób z grupy 12 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 12k = 3
N =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 9 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,1, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 4 poprawnych odpowiedzi?
n = 9p = 0,1k = 4
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Masy śrub są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 40 g i odchyleniem standardowym 1,2 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 6 z nich będzie mniejsza niż 245,9 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 6< 245.9 g
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,04 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
otwór: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Przedziały ufnościŚredni
Przedział ufności 95 % dla średniej, oparty na 36 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 10,8. Jaki jest margines błędu E₂ przedziału 99 % z tych samych danych?
95%n₁ = 36E₁ = 10,899%
E₂ =
16.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 5 poletek, średni plon 69 kg, odchylenie standardowe 3 kg. Grupa poletek 2: 7 poletek, średnia 79 kg, odchylenie standardowe 3 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 120; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 18. Losowa próba 144 obserwacji ma średnią 116,61. Przetestuj H₀: μ = 120 przeciw H₁: μ < 120. Wyznacz wartość p p.
μ₀ = 120σ = 18n = 144x̄ = 116,61H₁: μ < μ₀
p =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z dla H₀: μ = 500 przeciw H₁: μ > 500 przeprowadza się na poziomie α = 0,10 na próbie o liczebności 64; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 20. W rzeczywistości średnia wynosi 506. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.
μ₀ = 500μ = 506σ = 20n = 64α = 0,10
1 − β = %
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 5.
n = 6x = 5
ŷ =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: EAR = 18,68 %
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa na okres
r/m = 0,175/4 = 0,04375
Kapitalizacja w ciągu roku
EAR = (1 + 0,04375)4 − 1 = 1,187 − 1 = 18,68%
Odpowiedź
EAR = 18,68%
Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 1146 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·25 = 300
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,3019
A = 200 000·0,004/(1 − 0,3019) = €1 145,99
Odpowiedź
A = €1 145,99
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 866,5 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 9 000/1,07 = 8 411,21
CF2/(1 + 0,07)2 = 7 000/1,145 = 6 114,07
CF3/(1 + 0,07)3 = 6 000/1,225 = 4 897,79
CF4/(1 + 0,07)4 = 15 000/1,311 = 11 443,43
Zsumuj
NPV = €866,50
Odpowiedź
NPV = €866,50
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 21,84 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wymagany współczynnik renty
(1 − (1 + i)−8)/i = 20 000/5 500 = 3,636
Wyznacz stopę
Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.
i = 21%: 3,726
i = 22%: 3,619
IRR = 21,84%
Odpowiedź
IRR = 21,84%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: HPR = 9,997 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €40,00, N = 10
Rozwiąż numerycznie
i = 1,996% na półrocze
YTM
YTM = 2·1,996% = 3,993%
Odpowiedź
YTM = 3,993%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,126 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
WACC
WACC = 0,8571·9% + 0,1429·4%·(1 − 0,28) = 8,126%
Odpowiedź
WACC = 8,126%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 9,338 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Usuń dźwignię z bety
βU = 1,1/(1 + 0,72·0,4) = 0,854
Zlewaruj ponownie przy nowym D/E
βL = 0,854·(1 + 0,72·0,6) = 1,223
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 2% + 1,223·6% = 9,338%
Odpowiedź
re = 9,338%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 14,26
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (82,5 − 60)/15 = 1,5
Odpowiedź
z = 1,5
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 220
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(12, 3) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220
Odpowiedź
N = 220
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,00744
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy całkowitej
μT = 240 g, σT = 1,2·√6 = 2,939 g
Standaryzuj
z = (245,9 − 240)/2,939 = 2,01
Prawdopodobieństwo
P = Φ(2,01) = 0,9778
Odpowiedź
P = 0,9778
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,9207
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02828 mm
Standaryzuj
z = (0 − 0,04)/0,02828 = −1,41
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207
Odpowiedź
P = 0,9207
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E₂ = 14,19
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Stosunek marginesów
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(36/36) = 1,314
Nowy margines
E₂ = 10,8·1,314 = 14,19
Odpowiedź
E₂ = 14,19
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 5,567 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (4·3² + 6·3²)/10 = 9
sp = 3
Margines błędu
E = 3,169·3·√(1/5 + 1/7) = 5,567
Odpowiedź
E = 5,567 kg
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: p = 0,01191
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statystyka testowa
SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5
z = (116,61 − 120)/1,5 = −2,26
Pole ogona
Φ(2,26) = 0,9881
1 − Φ(2,26) = 0,0119
Wartość p
p = 0,01191
Odpowiedź
p = 0,01191
p ≤ 0,05, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 %.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: 1 − β = 86,82 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Krytyczna średnia z próby
SE = 20/√64 = 2,5
x̄c = 500 + 1,282·2,5 = 503,2
z przy prawdziwej średniej
z = (503,2 − 506)/2,5 = −1,118
Moc
moc = P(Z > −1,118) = 86,82%
1 − β = 86,82%
Odpowiedź
1 − β = 86,82%
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9927
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 3557 − 36·511/6 = 491
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 47015 − 511²/6 = 3495
Współczynnik korelacji
r = 491/√(70·3495) = 0,9927
Odpowiedź
r = 0,9927
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 10,89
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 83/6 = 13,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 103
Prosta regresji
b = 103/70 = 1,471
a = 13,83 − 1,471·7 = 3,533
ŷ = 3,533 + 1,471·x
Prognoza
ŷ = 3,533 + 1,471·5 = 10,89
Odpowiedź
ŷ = 10,89
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.