Renta wypłaca €500 na koniec każdego roku przez 7 lat. Stopa procentowa wynosi 5 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.
A = €500i = 5%n = 7
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Za 16 lat chcesz mieć €75 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 2,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.
FV = €75 0002,4% / 12N = 192
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €12 000, €22 000, €15 000, €22 000. Koszt kapitału wynosi 15 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €17 000, €12 000, €18 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −25 000CF1 = 17 000CF2 = 12 000CF3 = 18 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 9 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 6%YTM = 5%n = 9
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 11 lat. Kosztuje €724. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.
F = €1 000kupon = 5% (2×)n = 11P = €724
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €3 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 9%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 20%. Wyznacz WACC.
E = €3 000 000D = €1 000 000re = 9%rd = 5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM i WACCTrudny
Firma ma 4 000 000 akcji notowanych po €12,50; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €15 000 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €0,90 na akcję, a dywidendy rosną o 2% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €40 000 000 i koszt przed opodatkowaniem 6%. Stawka podatku wynosi 20%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 38, 51, 25, 31, 42, 22, 42.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży poniżej 110?
μ = 70σ = 20x = 110
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,2, 0,25, 0,25
σ =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Gra kosztuje €5. Wygrywasz €25 z prawdopodobieństwem 0,15 i €50 z prawdopodobieństwem 0,05; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.
stawka = €5€25: p = 0,15€50: p = 0,05
E(G) = €
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 53,5 a 70 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 65σ = 10x1 = 53,5x2 = 70
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 60% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 178 cmσ = 7 cm60%
x = cm
15.Przedziały ufnościŚredni
U 15 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 2,8 i odchylenie standardowe 7,6. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95 % dla średniej różnicy.
n = 15d̄ = 2,8sd = 7,695%t(14) = 2,145
E = mmHg
16.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 15 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 10,2 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 14 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 5,629, a 2,5 % powyżej 26,119.
n = 15s = 10,2 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 100 studentów ma średni wynik 95,35 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 95,35s = 15n = 100
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 64 pomiarów ma średnią 501,4. Odchylenie standardowe populacji wynosi 4. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 501,4σ = 4n = 6490%
L =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 5
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (5, 12). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(5, 12)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 2893 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7107)/0,05 = 5,786
Wartość bieżąca
PV = 500·5,786 = €2 893,19
Odpowiedź
PV = €2 893,19
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 320,8 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 12 000/1,15 = 10 434,78
CF2/(1 + 0,15)2 = 22 000/1,322 = 16 635,16
CF3/(1 + 0,15)3 = 15 000/1,521 = 9 862,74
CF4/(1 + 0,15)4 = 22 000/1,749 = 12 578,57
Zsumuj
NPV = €4 511,26
Odpowiedź
NPV = €4 511,26
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 39,45 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(35%) = 1 492,91
NPV(40%) = −174,93
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €30,00, i = 0,025, N = 18
Wartość bieżąca kuponów
€30,00·(1 − 0,6412)/0,025 = €430,60
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,6412 = €641,17
Cena
P = €1 071,77
Odpowiedź
P = €1 071,77
Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 9,006 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €25,00, N = 22
Rozwiąż numerycznie
i = 4,503% na półrocze
YTM
YTM = 2·4,503% = 9,006%
Odpowiedź
YTM = 9,006%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,75 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·9% + 0,25·5%·(1 − 0,2) = 7,75%
Odpowiedź
WACC = 7,75%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,324 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Odpowiedź
P = 0,9772
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σ = 11,61
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Wyniki netto
G: 20 (p = 0,15), 45 (p = 0,05), −5 (p = 0,8)
Wartość oczekiwana
E(G) = 20·0,15 + 45·0,05 − 5·0,8 = 1,25 €
Odpowiedź
E(G) = 1,25 €
Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,5664
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (53,5 − 65)/10 = −1,15
z₂ = (70 − 65)/10 = 0,5
Pole pomiędzy
P = Φ(0,5) − Φ(−1,15) = 0,6915 − 0,1251 = 0,5664
Odpowiedź
P = 0,5664
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 176,3 cm
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,4
z z tablicy
z ≈ −0,25
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 178 − 0,25·7 = 176,3 cm
Odpowiedź
x = 176,3 cm
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 4,209 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 14, t = 2,145
Margines błędu
E = 2,145·7,6/√15 = 4,209
Odpowiedź
E = 4,209 mmHg
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 7,468 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 14·10,2² = 1457
Granice dla σ²
1457/26,119 = 55,77
1457/5,629 = 258,8
Granica dla σ
σ = √55,77 = 7,468 µm
Odpowiedź
σ = 7,468 µm
Przedział 95 % dla σ: [7,468, 16,09] µm.
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −3,1
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5
Statystyka testowa
t = (95,35 − 100)/1,5 = −3,1
Odpowiedź
t = −3,1
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: L = 500,6
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,645·4/√64 = 0,8225
Granica przedziału
L = 501,4 − 0,8225 = 500,6
Odpowiedź
L = 500,6
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,7705
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 98/5 = 19,6
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15
Syy = Σ(y − ȳ)² = 29,2
Współczynnik determinacji
r² = −15²/(10·29,2) = 0,7705
Odpowiedź
r² = 0,7705
Około 77,05% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = −4,133
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 128/6 = 21,33
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 182
Prosta regresji
b = 182/70 = 2,6
a = 21,33 − 2,6·7 = 3,133
ŷ = 3,133 + 2,6·x
Wartość przewidywana
ŷ = 3,133 + 2,6·5 = 16,13
Reszta
e = 12 − 16,13 = −4,133
Odpowiedź
e = −4,133
Punkt leży pod prostą.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.