Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 10 lat potrzebujesz €10 000. Konto daje 3,6 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €10 0003,6% / 4n = 10

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €200 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 30 lat. Oprocentowanie wynosi 4,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €200 0004,2% / 12N = 360

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €100 000. Przynosi €16 500 na koniec każdego roku przez 8 lat, a potem można ją sprzedać za €15 000. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €100 000CF = €16 500S = €15 000n = 8r = 12%

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €14 000, €18 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −25 000CF₁ = 14 000CF₂ = 18 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Kupujesz obligację z 11 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 7%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 3,5%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 4,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.

F = €1 000kupon = 7%n = 11y₀ = 3,5%y₁ = 4,5%

HPR = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja jest notowana po €960 przy rentowności do wykupu 7% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 5 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność spadnie o 100 punktów bazowych.

P₀ = €960y = 7%D = 5Δy = −100 bp

P = €

7.CAPM i WACCŚredni

Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €10 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €500 000 i długiem o wartości €6 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt akcji uprzywilejowanych 7,5%, a koszt długu przed opodatkowaniem 5%. Stawka podatku wynosi 25,8%. Wyznacz WACC.

E = €10 000 000P_s = €500 000D = €6 000 000r_e = 13%r_p = 7,5%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 5 000 000 akcji po €37,50 za sztukę i 20 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 6%, a stopa podatkowa 25%. Współczynnik beta akcji to 1,3, stopa wolna od ryzyka 2%, a stopa zwrotu z rynku 7,5%. Wyznacz WACC.

β = 1,3r_f = 2%r_m = 7,5%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 49, 48, 35, 25, 35.

n = 5

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży poniżej 30?

μ = 70σ = 20x = 30

P =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,35, 0,05, 0,3

Var(X) =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 10X + 10. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 10X + 10

σ_Y =

13.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Jaka część wartości leży między 169,6 a 192,35 cm? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 178σ = 7x₁ = 169,6x₂ = 192,35

P =

14.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 90% wszystkich wartości (90. percentyl).

μ = 32σ = 6P = 90%

x = min

15.Przedziały ufnościŚredni

Przedział ufności 95 % dla średniej, oparty na 100 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 9,9. Jaki będzie margines błędu E₂, jeśli to samo badanie obejmie 900 obserwacji?

95%n₁ = 100E₁ = 9,9n₂ = 900

E₂ =

16.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 25 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 10,6 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 24 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 12,401, a 2,5 % powyżej 39,364.

n = 25s = 10,6 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 9 uczniów, średni wynik 24, odchylenie standardowe 6. Grupa 2: 22 uczniów, średni wynik 17,1, odchylenie standardowe 6. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 9x̄₁ = 24s₁ = 6n₂ = 22x̄₂ = 17,1s₂ = 6

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 36 pomiarów ma średnią 65,7. Odchylenie standardowe populacji wynosi 20. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 99 % dla średniej.

x̄ = 65,7σ = 20n = 3699%

U =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (4,5, 24). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(4,5, 24)

e =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 6988 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = 4·10 = 40

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,431 = €6 988,01

Odpowiedź

PV = €6 988,01

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 978 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·30 = 360

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,2843

A = 200 000·0,0035/(1 − 0,2843) = €978,03

Odpowiedź

A = €978,03

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −11976 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca rocznych przepływów

16 500·4,968 = 81 966,06

Wartość bieżąca wartości końcowej

15 000/2,476 = 6 058,25

NPV

NPV = −100 000 + 81 966,06 + 6 058,25 = −€11 975,70

Odpowiedź

NPV = −€11 975,70

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 17,35 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(15%) = 784,50

NPV(20%) = −833,33

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 15 + 5·784,50/(784,50 − (−833,33)) = 17,42%

dokładnie: NPV(17,35%) = 0 → IRR = 17,35%

Odpowiedź

IRR = 17,35%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: HPR = −3,592 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena zakupu

C = €70,00, i = 0,035, N = 11

€70,00·(1 − 0,6849)/0,035 + €1 000·0,6849 = €630,11 + €684,95 = €1 315,05

Cena sprzedaży

C = €70,00, i = 0,045, N = 10

€70,00·(1 − 0,6439)/0,045 + €1 000·0,6439 = €553,89 + €643,93 = €1 197,82

Stopa zwrotu z okresu posiadania

HPR = (70 + 1 197,82 − 1 315,05)/1 315,05 = −3,592%

Odpowiedź

HPR = −3,592%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1005 €

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Zmodyfikowana duration

D_mod = 5/1,07 = 4,673

Szacowana zmiana ceny

%ΔP ≈ −4,673·(−0,01) = 4,673%

P ≈ 960·(1 + 0,04673) = €1 004,86

Odpowiedź

P = €1 004,86

Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,455 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = 10 000 000 + 500 000 + 6 000 000 = €16 500 000

E/V = 0,6061, P_s/V = 0,0303, D/V = 0,3636

WACC

WACC = 0,6061·13% + 0,0303·7,5% + 0,3636·5%·(1 − 0,258) = 9,455%

Odpowiedź

WACC = 9,455%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,702 %

Wartości rynkowe

E = 5 000 000·€37,50 = €187 500 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2% + 1,3·5,5% = 9,15%

Wagi

V = €207 500 000, E/V = 0,9036, D/V = 0,09639

WACC

WACC = 0,9036·9,15% + 0,09639·6%·(1 − 0,25) = 8,702%

Odpowiedź

WACC = 8,702%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 10,09

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 192/5 = 38,4

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 10,6² + 9,6² + (−3,4)² + (−13,4)² + (−3,4)² = 407,2

Odchylenie standardowe

s = √(407,2/4) = 10,09

Odpowiedź

s = 10,09

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,02275

Standaryzuj

z = −2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Odpowiedź

P = 0,02275

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 5,71

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,3 + 2·0,35 + 4·0,05 + 6·0,3 = 2,7

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,35 + 16·0,05 + 36·0,3 = 13

Wariancja

Var(X) = 13 − 2,7² = 5,71

Odpowiedź

Var(X) = 5,71

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 8,047

Rozrzut X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Zmiana liniowa

σ_Y = |10|·0,8047 = 8,047

Odpowiedź

σ_Y = 8,047

Średnia się przesuwa: E(Y) = 10·1,05 + 10 = 20,5.

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8647

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (169,6 − 178)/7 = −1,2

z₂ = (192,35 − 178)/7 = 2,05

Pole pomiędzy

P = Φ(2,05) − Φ(−1,2) = 0,9798 − 0,1151 = 0,8647

Odpowiedź

P = 0,8647

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 39,69 min

z dla percentyla

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Powrót do x

x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min

Odpowiedź

x = 39,69 min

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: E₂ = 3,3

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Stosunek marginesów

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(100/900) = 0,3333

Nowy margines

E₂ = 9,9·0,3333 = 3,3

Odpowiedź

E₂ = 3,3

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 14,75 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 24·10,6² = 2697

Granice dla σ²

2697/39,364 = 68,51

2697/12,401 = 217,5

Granica dla σ

σ = √217,5 = 14,75 µm

Odpowiedź

σ = 14,75 µm

Przedział 95 % dla σ: [8,277, 14,75] µm.

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,906

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (8·6² + 21·6²)/29 = 36

s_p = 6

Błąd standardowy

SE = 6·√(1/9 + 1/22) = 2,374

Statystyka testowa

t = (24 − 17,1)/2,374 = 2,906

Odpowiedź

t = 2,906

Przy df = 29 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,045; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 74,29

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 2,576·20/√36 = 8,587

Granica przedziału

U = 65,7 + 8,587 = 74,29

Odpowiedź

U = 74,29

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9934

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 78/5 = 15,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 91,2

Współczynnik korelacji

r = 60/√(40·91,2) = 0,9934

Odpowiedź

r = 0,9934

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 3,105

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 136/6 = 22,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

Prosta regresji

b = −31/17,5 = −1,771

a = 22,67 − (−1,771)·3,5 = 28,87

ŷ = 28,87 − 1,771·x

Wartość przewidywana

ŷ = 28,87 + (−1,771)·4,5 = 20,9

Reszta

e = 24 − 20,9 = 3,105

Odpowiedź

e = 3,105

Punkt leży nad prostą.

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income