Renta wypłaca €1 000 na koniec każdego roku przez 9 lat. Stopa procentowa wynosi 8 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.
A = €1 000i = 8%n = 9
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €15 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 3 lat. Oprocentowanie wynosi 5,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €15 0005,4% / 12N = 36
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €29 000, €16 000, €28 000, €21 000. Koszt kapitału wynosi 7,000000000000001 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €10 000, €14 500, €10 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −20 000CF1 = 10 000CF2 = 14 500CF3 = 10 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 4 latach. Rentowność do wykupu wynosi 9% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 6%YTM = 9%n = 4
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 5% zostanie wykupiona po 6 latach, a jej cena wynosi €925. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 5%n = 6P = €925
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €12 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €500 000 i długiem o wartości €6 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt akcji uprzywilejowanych 7%, a koszt długu przed opodatkowaniem 5%. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC.
Firma ma 4 000 000 akcji notowanych po €29,50; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €59 000 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €0,80 na akcję, a dywidendy rosną o 5% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €118 000 000 i koszt przed opodatkowaniem 3%. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 53, 27, 14, 14, 15, 25.
n = 6
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży powyżej 40?
μ = 60σ = 20x = 40
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,35, 0,1, 0,15, 0,3
Var(X) =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Gra kosztuje €5. Wygrywasz €25 z prawdopodobieństwem 0,25 i €100 z prawdopodobieństwem 0,05; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.
stawka = €5€25: p = 0,25€100: p = 0,05
E(G) = €
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Jaka część wartości leży między 70,75 a 115 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 100σ = 15x1 = 70,75x2 = 115
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 25% wszystkich wartości (25. percentyl).
μ = 65σ = 10P = 25%
x = pkt
15.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 50 telefonów, średnia 65,5 h, znane odchylenie standardowe 5 h. Model 2: 40 telefonów, średnia 69,5 h, znane odchylenie standardowe 20 h. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
Średnice 11 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 7,4 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 10 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 3,247, a 2,5 % powyżej 20,483.
n = 11s = 7,4 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
13 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi −1,56, a odchylenie standardowe różnic 4,7. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 13d̄ = −1,56sd = 4,7
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5? Odchylenie standardowe wynosi 10. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 10E = 1,599%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 4,5.
n = 5x = 4,5
ŷ =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 6247 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5002)/0,08 = 6,247
Wartość bieżąca
PV = 1 000·6,247 = €6 246,89
Odpowiedź
PV = €6 246,89
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 452,3 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·3 = 36
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,8508
A = 15 000·0,0045/(1 − 0,8508) = €452,26
Odpowiedź
A = €452,26
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 4955 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 29 000/1,07 = 27 102,80
CF2/(1 + 0,07)2 = 16 000/1,145 = 13 975,02
CF3/(1 + 0,07)3 = 28 000/1,225 = 22 856,34
CF4/(1 + 0,07)4 = 21 000/1,311 = 16 020,80
Zsumuj
NPV = €4 954,96
Odpowiedź
NPV = €4 954,96
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 32,88 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(30%) = 823,85
NPV(35%) = −572,07
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
IRR ≈ 30 + 5·823,85/(823,85 − (−572,07)) = 32,95%
dokładnie: NPV(32,88%) = 0 → IRR = 32,88%
Odpowiedź
IRR = 32,88%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 901,1 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €30,00, i = 0,045, N = 8
Wartość bieżąca kuponów
€30,00·(1 − 0,7032)/0,045 = €197,88
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,7032 = €703,19
Cena
P = €901,06
Odpowiedź
P = €901,06
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 6,552 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€925 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Rozwiąż numerycznie
P(6%) = €950,83, P(7%) = €904,67
YTM = 6,552%
Odpowiedź
YTM = 6,552%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 9,903 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału własnego
D1 = 0,8·1,05 = €0,84
re = 0,84/29,5 + 0,05 = 7,847%
Wartości rynkowe
E = 4 000 000·€29,50 = €118 000 000
V = €236 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·7,847% + 0,5·3%·(1 − 0,21) = 5,109%
Odpowiedź
WACC = 5,109%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 15,03
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Odpowiedź
P = 0,8413
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: Var(X) = 2,06
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Wyniki netto
G: 20 (p = 0,25), 95 (p = 0,05), −5 (p = 0,7)
Wartość oczekiwana
E(G) = 20·0,25 + 95·0,05 − 5·0,7 = 6,25 €
Odpowiedź
E(G) = 6,25 €
Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,8158
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (70,75 − 100)/15 = −1,95
z₂ = (115 − 100)/15 = 1
Pole pomiędzy
P = Φ(1) − Φ(−1,95) = 0,8413 − 0,02559 = 0,8158
Odpowiedź
P = 0,8158
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 58,26 pkt
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Powrót do x
x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 pkt
Odpowiedź
x = 58,26 pkt
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 4,347 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 65,5 − 69,5 = −4
Błąd standardowy
SE = √(5²/50 + 20²/40) = 3,24
Margines błędu
E = 2,576·3,24 = 8,347
Przedział
−4 ± 8,347 → [−12,35, 4,347]
Odpowiedź
górna granica = 4,347 h
Przedział zawiera 0, więc dane nie wykazują istotnej różnicy.
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 12,99 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 10·7,4² = 547,6
Granice dla σ²
547,6/20,483 = 26,73
547,6/3,247 = 168,6
Granica dla σ
σ = √168,6 = 12,99 µm
Odpowiedź
σ = 12,99 µm
Przedział 95 % dla σ: [5,171, 12,99] µm.
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −1,197
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 4,7/√13 = 1,304
Statystyka testowa
t = −1,56/1,304 = −1,197
Odpowiedź
t = −1,197
Przy df = 12 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,179; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 295
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (2,576·10/1,5)² = 294,9
Zaokrąglij w górę
n = 295
Odpowiedź
n = 295
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9985
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 119/6 = 19,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 195
Syy = Σ(y − ȳ)² = 544,8
Współczynnik korelacji
r = 195/√(70·544,8) = 0,9985
Odpowiedź
r = 0,9985
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 9,65
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 73/5 = 14,6
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33
Prosta regresji
b = −33/10 = −3,3
a = 14,6 − (−3,3)·3 = 24,5
ŷ = 24,5 − 3,3·x
Prognoza
ŷ = 24,5 + (−3,3)·4,5 = 9,65
Odpowiedź
ŷ = 9,65
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.