Inwestujesz €5 000 przy stopie 7 % rocznie z kapitalizacją ciągłą. Wyznacz wartość FV po 17 latach.
PV = €5 000r = 7%t = 17
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €150 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 20 lat. Oprocentowanie wynosi 5,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €150 0005,4% / 12N = 240
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €40 000. Przynosi €10 000 na koniec każdego roku przez 4 lat, a potem można ją sprzedać za €6 000. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €40 000CF = €10 000S = €6 000n = 4r = 12%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €21 500, €24 500, €23 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −40 000CF1 = 21 500CF2 = 24 500CF3 = 23 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4,5% i zapada za 5 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 3% na 2%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?
F = €1 000kupon = 4,5%n = 5y1 = 3%y2 = 2%
ΔP = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 12 lat. Kosztuje €928. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.
F = €1 000kupon = 8% (2×)n = 12P = €928
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Akcja o becie 1,25 ma wymaganą stopę zwrotu 10,13%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 2%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku rm implikuje CAPM?
β = 1,25re = 10,13%rf = 2%
rm = %
8.CAPM i WACCTrudny
Akcje firmy mają betę 1,1 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,4. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 1. Stawka podatku wynosi 21%, stopa wolna od ryzyka 1%, a rynkowa premia za ryzyko 7%. Wyznacz koszt kapitału własnego re po zmianie.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 17, 22, 15, 55, 56, 53.
n = 6
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 50. Jaka część P wartości leży poniżej 450?
μ = 500σ = 50x = 450
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 7 kul czerwonych i 4 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
7 / 4
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 5 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,2, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 4 poprawnych odpowiedzi?
n = 5p = 0,2k = 4
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
X ma rozkład normalny ze średnią 12 min i odchyleniem standardowym 1,5 min; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 20 min i odchyleniem standardowym 2 min. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 37 min. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 37 min
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 70% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 100 pktσ = 15 pkt70%
x = pkt
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 13 elementów ma średnią 66,5 i odchylenie standardowe s = 7,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 13x̄ = 66,5s = 7,595%t(12) = 2,179
dolna granica =
16.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 31. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?
σ = 31E = 1,599%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
16 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 2,1, a odchylenie standardowe różnic 10,5. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 16d̄ = 2,1sd = 10,5
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 36 pomiarów ma średnią 76,5. Odchylenie standardowe populacji wynosi 4. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 76,5σ = 4n = 3690%
L =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 56?
n = 6ŷ = 56
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 16435 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wykładnik
r·t = 0,07·17 = 1,19
e1,19 = 3,287
Wartość przyszła
FV = 5 000·3,287 = €16 435,41
Odpowiedź
FV = €16 435,41
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 1023 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·20 = 240
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,3404
A = 150 000·0,0045/(1 − 0,3404) = €1 023,38
Odpowiedź
A = €1 023,38
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −5813 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca rocznych przepływów
10 000·3,037 = 30 373,49
Wartość bieżąca wartości końcowej
6 000/1,574 = 3 813,11
NPV
NPV = −40 000 + 30 373,49 + 3 813,11 = −€5 813,40
Odpowiedź
NPV = −€5 813,40
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 33,01 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(30%) = 1 731,91
NPV(35%) = −1 079,61
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €40,00, N = 24
Rozwiąż numerycznie
i = 4,497% na półrocze
YTM
YTM = 2·4,497% = 8,993%
Odpowiedź
YTM = 8,993%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: rm = 8,504 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Rynkowa premia za ryzyko
rm − rf = (10,13% − 2%)/1,25 = 6,504%
Stopa zwrotu z rynku
rm = 2% + 6,504% = 8,504%
Odpowiedź
rm = 8,504%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 11,47 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Usuń dźwignię z bety
βU = 1,1/(1 + 0,79·0,4) = 0,8359
Zlewaruj ponownie przy nowym D/E
βL = 0,8359·(1 + 0,79·1) = 1,496
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 1% + 1,496·7% = 11,47%
Odpowiedź
re = 11,47%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 20,24
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Odpowiedź
P = 0,1587
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,3818
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 7/11 · 6/10 = 42/110 = 0,3818
Odpowiedź
P = 0,3818
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,0064
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Wzór dwumianowy
P(X = 4) = 5·0,24·0,81 = 5·0,0016·0,8 = 0,0064
Odpowiedź
P = 0,0064
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,02275
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standaryzuj
z = (37 − 32)/2,5 = 2
Górny ogon
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Odpowiedź
P = 0,02275
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 92,2 pkt
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,3
z z tablicy
z ≈ −0,52
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 100 − 0,52·15 = 92,2 pkt
Odpowiedź
x = 92,2 pkt
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 61,97
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Margines błędu
E = 2,179·7,5/√13 = 4,533
Przedział
66,5 ± 4,533 → [61,97, 71,03]
Odpowiedź
dolna granica = 61,97
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 2835
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (2,576·31/1,5)² = 2834
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 2835
Odpowiedź
n = 2835
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 0,8
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 10,5/√16 = 2,625
Statystyka testowa
t = 2,1/2,625 = 0,8
Odpowiedź
t = 0,8
Przy df = 15 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,131; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: L = 75,4
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,645·4/√36 = 1,097
Granica przedziału
L = 76,5 − 1,097 = 75,4
Odpowiedź
L = 75,4
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9836
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 369/5 = 73,8
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 184
Syy = Σ(y − ȳ)² = 874,8
Współczynnik korelacji
r = 184/√(40·874,8) = 0,9836
Odpowiedź
r = 0,9836
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 4,854
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 328/6 = 54,67
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66
Prosta regresji
b = 66/17,5 = 3,771
a = 54,67 − 3,771·4,5 = 37,7
ŷ = 37,7 + 3,771·x
Wyznacz x
x = (56 − 37,7)/3,771 = 4,854
Odpowiedź
x = 4,854
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.