Za 10 lat potrzebujesz €50 000. Konto daje 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.
FV = €50 0004,8% / 12n = 10
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Za 3 lat chcesz mieć €20 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 4,2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.
FV = €20 0004,2% / 12N = 36
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €20 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €4 000, €7 000, €9 000. Koszt kapitału wynosi 7,000000000000001 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €35 000, €24 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −50 000CF1 = 35 000CF2 = 24 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 6 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 4%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 5%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 6,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 4%n = 6y0 = 5%y1 = 6,5%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 5% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €900. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 5%n = 9P = €900
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €8 000 000 i dług o wartości €6 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 9%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stopa podatkowa 20%. Wyznacz WACC.
E = €8 000 000D = €6 000 000re = 9%rd = 3%T = 20%
WACC = %
8.CAPM i WACCTrudny
Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 0,7. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,5. Stawka podatku wynosi 28%, stopa wolna od ryzyka 2%, a rynkowa premia za ryzyko 4%. Wyznacz koszt kapitału własnego re przy nowej strukturze kapitału.
βU = 0,7D/E = 0,5T = 28%rf = 2%rm − rf = 4%
re = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 10, 57, 54, 23, 38.
n = 5
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży powyżej 147,5?
μ = 170σ = 15x = 147,5
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 4 osób z grupy 10 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 10k = 4
N =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
X ma pokazany rozkład, a Y = 5X + 1. Wyznacz odchylenie standardowe σY zmiennej Y.
Masy pasażerów z bagażem są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 85 kg i odchyleniem standardowym 12 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 12 z nich przekroczy 978,4 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 978,4 kg
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 90% wszystkich wartości (90. percentyl).
μ = 250σ = 5P = 90%
x = g
15.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 30 telefonów, średnia 120,5 h, znane odchylenie standardowe 6 h. Model 2: 80 telefonów, średnia 113 h, znane odchylenie standardowe 4 h. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
Odchylenie standardowe populacji wynosi 37. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?
σ = 37E = 295%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 36 studentów ma średni wynik 196,5 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 196,5s = 15n = 36
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1? Odchylenie standardowe wynosi 10. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 10E = 190%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 20?
n = 5ŷ = 20
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 30969 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa i liczba okresów
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·10 = 120
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,615 = €30 968,81
Odpowiedź
PV = €30 968,81
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 522,3 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 4 000/1,07 = 3 738,32
CF2/(1 + 0,07)2 = 7 000/1,145 = 6 114,07
CF3/(1 + 0,07)3 = 9 000/1,225 = 7 346,68
Zsumuj
NPV = €−2 800,93
Odpowiedź
NPV = €−2 800,93
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 13,26 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(10%) = 2 066,12
NPV(15%) = −1 039,70
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€900 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Rozwiąż numerycznie
P(6%) = €931,98, P(7%) = €869,70
YTM = 6,503%
Odpowiedź
YTM = 6,503%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 6,171 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €14 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·9% + 0,4286·3%·(1 − 0,2) = 6,171%
Odpowiedź
WACC = 6,171%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 5,808 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Beta lewarowana
βL = 0,7·(1 + 0,72·0,5) = 0,952
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 2% + 0,952·4% = 5,808%
Odpowiedź
re = 5,808%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 20,08
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1,5
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Odpowiedź
P = 0,9332
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 210
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(10, 4) = (10·9·8·7)/(4·3·2·1) = 210
Odpowiedź
N = 210
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σY = 6,91
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Rozrzut X
μ = 1,7, Var(X) = 1,91, σX = 1,382
Zmiana liniowa
σY = |5|·1,382 = 6,91
Odpowiedź
σY = 6,91
Średnia się przesuwa: E(Y) = 5·1,7 + 1 = 9,5.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,8413
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy całkowitej
μT = 1020 kg, σT = 12·√12 = 41,57 kg
Standaryzuj
z = (978,4 − 1020)/41,57 = −1
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Odpowiedź
P = 0,8413
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 256,4 g
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Powrót do x
x = 250 + 1,282·5 = 256,41 g
Odpowiedź
x = 256,41 g
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 4,452 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 120,5 − 113 = 7,5
Błąd standardowy
SE = √(6²/30 + 4²/80) = 1,183
Margines błędu
E = 2,576·1,183 = 3,048
Przedział
7,5 ± 3,048 → [4,452, 10,55]
Odpowiedź
dolna granica = 4,452 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 1315
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,96·37/2)² = 1315
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 1315
Odpowiedź
n = 1315
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −1,4
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5
Statystyka testowa
t = (196,5 − 200)/2,5 = −1,4
Odpowiedź
t = −1,4
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 271
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (1,645·10/1)² = 270,6
Zaokrąglij w górę
n = 271
Odpowiedź
n = 271
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9993
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 409/6 = 68,17
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 532,8
Współczynnik korelacji
r = 96,5/√(17,5·532,8) = 0,9993
Odpowiedź
r = 0,9993
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 4,918
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 123/5 = 24,6
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 170
Prosta regresji
b = 170/40 = 4,25
a = 24,6 − 4,25·6 = −0,9
ŷ = −0,9 + 4,25·x
Wyznacz x
x = (20 − (−0,9))/4,25 = 4,918
Odpowiedź
x = 4,918
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.