Inwestujesz €2 000 przy nominalnej stopie 2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 8 latach.
PV = €2 0002% / 12n = 8
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €12 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 5 lat. Oprocentowanie wynosi 3,6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €12 0003,6% / 12N = 60
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €60 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €28 000, €16 000, €20 000. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje dziś €80 000. Jego przepływ wynosi €9 000 na koniec roku 1 i rośnie o 2 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 9. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €80 000CF1 = €9 000g = 2%n = 9r = 10%
NPV = €
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 5 latach. Rentowność do wykupu wynosi 7% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 6%YTM = 7%n = 5
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja z 15 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 9%) kosztuje €1 235. Emitent może ją wykupić przed terminem za 3 lat po cenie wykupu €1 090. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.
F = €1 000kupon = 9%P = €1 235cena wcześniejszego wykupu = €1 090wcześniejszy wykup za 3 lata
YTC = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €6 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €1 500 000 i długiem o wartości €3 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 9%, koszt akcji uprzywilejowanych 6%, a koszt długu przed opodatkowaniem 5%. Stawka podatku wynosi 20%. Wyznacz WACC.
Spółka ma 5 000 000 akcji po €43,00 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 6%, a stopa podatkowa 25%. Współczynnik beta akcji to 1,2, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a stopa zwrotu z rynku 7,5%. Wyznacz WACC.
β = 1,2rf = 3,5%rm = 7,5%rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 29, 38, 13, 15, 36, 57.
n = 6
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży powyżej 92,5?
μ = 100σ = 5x = 92,5
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 8 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 8k = 2
N =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Gra kosztuje €3. Wygrywasz €9 z prawdopodobieństwem 0,2 i €60 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.
stawka = €3€9: p = 0,2€60: p = 0,01
E(G) = €
13.Rozkład normalnyŚredni
Masy pudeł są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 12 kg i odchyleniem standardowym 0,8 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 12 z nich będzie mniejsza niż 145,4 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 12< 145.4 kg
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 30% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 500 hσ = 40 h30%
x = h
15.Przedziały ufnościŚredni
U 13 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 2 i odchylenie standardowe 4,3. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90 % dla średniej różnicy.
n = 13d̄ = 2sd = 4,390%t(12) = 1,782
E = mmHg
16.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 26 poletek, średni plon 27 kg, odchylenie standardowe 6 kg. Grupa poletek 2: 5 poletek, średnia 21,5 kg, odchylenie standardowe 6 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
20 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 1,45, a odchylenie standardowe różnic 2,5. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 20d̄ = 1,45sd = 2,5
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 16 pomiarów ma średnią 122. Odchylenie standardowe populacji wynosi 8. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 122σ = 8n = 1690%
L =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 1,5.
n = 5x = 1,5
ŷ =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 2347 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·5 = 60
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,8355
A = 12 000·0,003/(1 − 0,8355) = €218,84
Odpowiedź
A = €218,84
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −8009 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 28 000/1,12 = 25 000,00
CF2/(1 + 0,12)2 = 16 000/1,254 = 12 755,10
CF3/(1 + 0,12)3 = 20 000/1,405 = 14 235,60
Zsumuj
NPV = €−8 009,29
Odpowiedź
NPV = €−8 009,29
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −24519 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca renty rosnącej
((1,02)/(1,1))9 = 0,5068
PV = 9 000/(0,1 − 0,02)·(1 − 0,5068) = 55 480,96
NPV
NPV = 55 480,96 − 80 000 = −€24 519,04
Odpowiedź
NPV = −€24 519,04
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 958,4 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €30,00, i = 0,035, N = 10
Wartość bieżąca kuponów
€30,00·(1 − 0,7089)/0,035 = €249,50
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,7089 = €708,92
Cena
P = €958,42
Odpowiedź
P = €958,42
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTC = 3,508 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
1235 = 90·(1 − (1 + y)−3)/y + 1090/(1 + y)3
Rozwiąż numerycznie
y = 3%: €1 252,08
y = 4%: €1 218,76
YTC = 3,508%
Odpowiedź
YTC = 3,508%
Rentowność do wykupu wynosi 6,501%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,143 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1,5
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Odpowiedź
P = 0,9332
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 28
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28
Odpowiedź
N = 28
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: E(G) = −0,6 €
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Wyniki netto
G: 6 (p = 0,2), 57 (p = 0,01), −3 (p = 0,79)
Wartość oczekiwana
E(G) = 6·0,2 + 57·0,01 − 3·0,79 = −0,6 €
Odpowiedź
E(G) = −0,6 €
Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,695
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy całkowitej
μT = 144 kg, σT = 0,8·√12 = 2,771 kg
Standaryzuj
z = (145,4 − 144)/2,771 = 0,51
Prawdopodobieństwo
P = Φ(0,51) = 0,695
Odpowiedź
P = 0,695
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 479 h
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,3
z z tablicy
z ≈ −0,52
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 500 − 0,52·40 = 479 h
Odpowiedź
x = 479 h
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 2,125 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 12, t = 1,782
Margines błędu
E = 1,782·4,3/√13 = 2,125
Odpowiedź
E = 2,125 mmHg
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 10,48 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (25·6² + 4·6²)/29 = 36
sp = 6
Margines błędu
E = 1,699·6·√(1/26 + 1/5) = 4,978
Przedział
5,5 ± 4,978 → [0,522, 10,48]
Odpowiedź
górna granica = 10,48 kg
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,594
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 2,5/√20 = 0,559
Statystyka testowa
t = 1,45/0,559 = 2,594
Odpowiedź
t = 2,594
Przy df = 19 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,093; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: L = 118,7
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,645·8/√16 = 3,29
Granica przedziału
L = 122 − 3,29 = 118,7
Odpowiedź
L = 118,7
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9855
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 21513 − 153·807/6 = 934,5
Sxx = 4059 − 153²/6 = 157,5
Syy = 114251 − 807²/6 = 5710
Współczynnik korelacji
r = 934,5/√(157,5·5710) = 0,9855
Odpowiedź
r = 0,9855
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 30,25
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 134/5 = 26,8
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23
Prosta regresji
b = −23/10 = −2,3
a = 26,8 − (−2,3)·3 = 33,7
ŷ = 33,7 − 2,3·x
Prognoza
ŷ = 33,7 + (−2,3)·1,5 = 30,25
Odpowiedź
ŷ = 30,25
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.