Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 2 lat potrzebujesz €25 000. Konto daje 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €25 0004,8% / 12n = 2

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Pożyczasz €25 000 przy 2,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €375 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.

P = €25 000A = €3752,4% / 12

N = raty

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €30 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €8 000, €9 000, €10 000. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 8%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 000CF₂ = 9 000CF₃ = 10 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €31 000, €25 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −50 000CF₁ = 31 000CF₂ = 25 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% i zapada za 10 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 8% na 10%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 4%n = 10y₁ = 8%y₂ = 10%

ΔP = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 3% zostanie wykupiona po 7 latach, a jej cena wynosi €1 100. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 3%n = 7P = €1 100

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €2 000 000 i dług o wartości €6 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 20%. Wyznacz WACC.

E = €2 000 000D = €6 000 000r_e = 13%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Akcje firmy mają betę 1,1 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,2. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 1,5. Stawka podatku wynosi 21%, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a rynkowa premia za ryzyko 6%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e po zmianie.

β_L = 1,1D/E₁ = 0,2D/E₂ = 1,5T = 21%r_f = 3,5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 12, 39, 38, 30, 35.

n = 5

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży poniżej 185?

μ = 170σ = 10x = 185

P =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,35, 0,3, 0,05

σ =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 6 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,2. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 6p = 0,2

P =

13.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży między 26 a 38 min? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 32σ = 6x₁ = 26x₂ = 38

P =

14.Rozkład normalnyTrudny

Czas okrążenia X biegacza A i czas okrążenia Y biegacza B są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 52 s i odchylenie standardowe 4 s, Y ma średnią 48 s i odchylenie standardowe 3 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.Przedziały ufnościŚredni

Próba 9 elementów ma średnią 29 i odchylenie standardowe s = 12. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 9x̄ = 29s = 1295%t(8) = 2,306

dolna granica =

16.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 25 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 3,3 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 24 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 12,401, a 2,5 % powyżej 39,364.

n = 25s = 3,3 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 49 studentów ma średni wynik 76 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 76s = 10n = 49

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 20 z 100 pacjentów leczonych metodą A i 14 z 120 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 20n₁ = 100x₂ = 14n₂ = 120

z =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 35?

n = 6ŷ = 35

x =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 22716 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·2 = 24

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,101 = €22 715,95

Odpowiedź

PV = €22 715,95

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: N = 72 raty

Przekształć wzór na rentę

i = 0,002

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0,002/375 = 0,8667

Rozwiąż za pomocą logarytmów

N = −ln(0,8667)/ln(1,002) = 71,62

Zaokrąglij w górę do pełnych rat

71 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.

N = 72

Odpowiedź

N = 72 raty

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −6938 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 8 000/1,08 = 7 407,41

CF₂/(1 + 0,08)² = 9 000/1,166 = 7 716,05

CF₃/(1 + 0,08)³ = 10 000/1,26 = 7 938,32

Zsumuj

NPV = €−6 938,22

Odpowiedź

NPV = €−6 938,22

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 8,852 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(5%) = 2 653,06

NPV(10%) = −743,80

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 5 + 5·2 653,06/(2 653,06 − (−743,80)) = 8,905%

dokładnie: NPV(8,852%) = 0 → IRR = 8,852%

Odpowiedź

IRR = 8,852%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = −100,3 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €40,00, i = 0,08, N = 10

€40,00·(1 − 0,4632)/0,08 + €1 000·0,4632 = €268,40 + €463,19 = €731,60

Cena przy nowej rentowności

C = €40,00, i = 0,1, N = 10

€40,00·(1 − 0,3855)/0,1 + €1 000·0,3855 = €245,78 + €385,54 = €631,33

Zmiana

ΔP = 631,33 − 731,60 = −€100,27

Odpowiedź

ΔP = −€100,27

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 1,485 %

Równanie dla rentowności

€1 100 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Rozwiąż numerycznie

P(1%) = €1 134,56, P(2%) = €1 064,72

YTM = 1,485%

Odpowiedź

YTM = 1,485%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,25 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €8 000 000, E/V = 0,25, D/V = 0,75

WACC

WACC = 0,25·13% + 0,75·5%·(1 − 0,2) = 6,25%

Odpowiedź

WACC = 6,25%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 15,95 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Usuń dźwignię z bety

β_U = 1,1/(1 + 0,79·0,2) = 0,9499

Zlewaruj ponownie przy nowym D/E

β_L = 0,9499·(1 + 0,79·1,5) = 2,076

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3,5% + 2,076·6% = 15,95%

Odpowiedź

r_e = 15,95%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 11,08

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 154/5 = 30,8

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−18,8)² + 8,2² + 7,2² + (−0,8)² + 4,2² = 490,8

Odchylenie standardowe

s = √(490,8/4) = 11,08

Odpowiedź

s = 11,08

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9332

Standaryzuj

z = 1,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Odpowiedź

P = 0,9332

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 8,888

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 10·0,3 + 20·0,35 + 30·0,3 + 40·0,05 = 21

Średnia kwadratów

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,35 + 900·0,3 + 1600·0,05 = 520

Wariancja

Var(X) = 520 − 21² = 79

σ = √79 = 8,888

Odpowiedź

σ = 8,888

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,6554

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,8⁶ = 0,2621

P(X = 1) = 6·0,2·0,8⁵ = 0,3932

Dodaj

P = 0,2621 + 0,3932 = 0,6554

Odpowiedź

P = 0,6554

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6827

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (26 − 32)/6 = −1

z₂ = (38 − 32)/6 = 1

Pole pomiędzy

P = Φ(1) − Φ(−1) = 0,8413 − 0,1587 = 0,6827

Odpowiedź

P = 0,6827

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7881

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standaryzuj

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Odpowiedź

P = 0,7881

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 19,78

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Margines błędu

E = 2,306·12/√9 = 9,224

Przedział

29 ± 9,224 → [19,78, 38,22]

Odpowiedź

dolna granica = 19,78

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 2,577 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 24·3,3² = 261,4

Granice dla σ²

261,4/39,364 = 6,64

261,4/12,401 = 21,08

Granica dla σ

σ = √6,64 = 2,577 µm

Odpowiedź

σ = 2,577 µm

Przedział 95 % dla σ: [2,577, 4,591] µm.

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 0,7

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429

Statystyka testowa

t = (76 − 75)/1,429 = 0,7

Odpowiedź

t = 0,7

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 1,703

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Frakcje z prób

p̂₁ = 20/100 = 0,2

p̂₂ = 14/120 = 0,1167

p̂ = 34/220 = 0,1545

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,1545·0,8455·(1/100 + 1/120)) = 0,04894

Statystyka testowa

z = (0,2 − 0,1167)/0,04894 = 1,703

Odpowiedź

z = 1,703

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9911

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 340/6 = 56,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 320

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1489

Współczynnik korelacji

r = 320/√(70·1489) = 0,9911

Odpowiedź

r = 0,9911

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 3,917

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 206/6 = 34,33

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 28

Prosta regresji

b = 28/17,5 = 1,6

a = 34,33 − 1,6·3,5 = 28,73

ŷ = 28,73 + 1,6·x

Wyznacz x

x = (35 − 28,73)/1,6 = 3,917

Odpowiedź

x = 3,917

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income