Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 20 % rocznie z kapitalizacją dziennie. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 20%m = 365

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Na początku każdego roku przez 16 lat wpłacasz €2 500, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 7 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 16? Wyznacz FV.

A = €2 500i = 7%n = 16

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €30 000, działa przez 6 lat, a jej eksploatacja kosztuje €2 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.

C₀ = €30 000M = €2 000n = 6r = 10%

EAC = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €4 500, €6 000, €4 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 500CF₂ = 6 000CF₃ = 4 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 13 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €1 319, gdy rentowność do wykupu wynosi 3%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 13P = €1 319YTM = 3%

c = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 8% zostanie wykupiona po 5 latach, a jej cena wynosi €1 040. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 8%n = 5P = €1 040

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €10 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €500 000 i długiem o wartości €4 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 9%, koszt akcji uprzywilejowanych 6,5%, a koszt długu przed opodatkowaniem 5%. Stawka podatku wynosi 28%. Wyznacz WACC.

E = €10 000 000P_s = €500 000D = €4 000 000r_e = 9%r_p = 6,5%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Akcje firmy mają betę 1,1 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,2. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 0,6. Stawka podatku wynosi 21%, stopa wolna od ryzyka 4%, a rynkowa premia za ryzyko 5,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e po zmianie.

β_L = 1,1D/E₁ = 0,2D/E₂ = 0,6T = 21%r_f = 4%r_m − r_f = 5,5%

r_e = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 32, 32, 34, 26, 13.

n = 5

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 78.

μ = 70σ = 20x = 78

z =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 3 osób z grupy 10 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 10k = 3

N =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 8 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 8p = 0,4

P =

13.Rozkład normalnyŚredni

Masy pudeł są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 12 kg i odchyleniem standardowym 0,8 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 8 z nich przekroczy 98,3 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 8> 98,3 kg

P =

14.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 5% wszystkich wartości (5. percentyl).

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

15.Przedziały ufnościŚredni

Próba 21 elementów ma średnią 119,5 i odchylenie standardowe s = 11. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 21x̄ = 119,5s = 1195%t(20) = 2,086

E =

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 32. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5?

σ = 32E = 2,599%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 76,4 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 76,4s = 12n = 36

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 75 z 250 pacjentów leczonych metodą A i 25 z 100 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 75n₁ = 250x₂ = 25n₂ = 100

z =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (11, 108). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(11, 108)

e =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 22,13 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,2/365 = 0,0005479

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,0005479)³⁶⁵ − 1 = 1,221 − 1 = 22,13%

Odpowiedź

EAR = 22,13%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 74601 €

Współczynnik renty zwykłej

((1 + 0,07)¹⁶ − 1)/0,07 = 27,89

Renta płatna z góry

Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.

FV = 2 500·27,89·1,07 = €74 600,54

Odpowiedź

FV = €74 600,54

3.NPV i IRR

Odpowiedź: EAC = 8888 €

Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − 1,1⁻⁶)/0,1 = 4,355

Zannualizowana cena zakupu

30 000/4,355 = 6 888,22

EAC

EAC = 6 888,22 + 2 000 = €8 888,22

Odpowiedź

EAC = €8 888,22

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 21,49 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(20%) = 231,48

NPV(25%) = −512,00

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 20 + 5·231,48/(231,48 − (−512,00)) = 21,56%

dokładnie: NPV(21,49%) = 0 → IRR = 21,49%

Odpowiedź

IRR = 21,49%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 6 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,03)⁻¹³ = €680,95

Kupon

C = (1319 − 680,95)/10,63 = €60,00

Oprocentowanie kuponu

c = 60/1000 = 6%

Odpowiedź

c = 6%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 7,024 %

Równanie dla rentowności

€1 040 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Rozwiąż numerycznie

P(7%) = €1 041,00, P(8%) = €1 000,00

YTM = 7,024%

Odpowiedź

YTM = 7,024%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,424 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = 10 000 000 + 500 000 + 4 000 000 = €14 500 000

E/V = 0,6897, P_s/V = 0,03448, D/V = 0,2759

WACC

WACC = 0,6897·9% + 0,03448·6,5% + 0,2759·5%·(1 − 0,28) = 7,424%

Odpowiedź

WACC = 7,424%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 11,7 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Usuń dźwignię z bety

β_U = 1,1/(1 + 0,79·0,2) = 0,9499

Zlewaruj ponownie przy nowym D/E

β_L = 0,9499·(1 + 0,79·0,6) = 1,4

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 4% + 1,4·5,5% = 11,7%

Odpowiedź

r_e = 11,7%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 8,591

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 137/5 = 27,4

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 4,6² + 4,6² + 6,6² + (−1,4)² + (−14,4)² = 295,2

Odchylenie standardowe

s = √(295,2/4) = 8,591

Odpowiedź

s = 8,591

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 0,4

Standaryzuj

z = (78 − 70)/20 = 0,4

Odpowiedź

z = 0,4

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 120

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120

Odpowiedź

N = 120

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1064

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,6⁸ = 0,0168

P(X = 1) = 8·0,4·0,6⁷ = 0,08958

Dodaj

P = 0,0168 + 0,08958 = 0,1064

Odpowiedź

P = 0,1064

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,1539

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 96 kg, σ_T = 0,8·√8 = 2,263 kg

Standaryzuj

z = (98,3 − 96)/2,263 = 1,02

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(1,02) = 0,1539

Odpowiedź

P = 0,1539

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 166,5 cm

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Powrót do x

x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm

Odpowiedź

x = 166,49 cm

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 5,007

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Margines błędu

E = 2,086·11/√21 = 5,007

Odpowiedź

E = 5,007

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1088

Wyznacz n

n = (2,576·32/2,5)² = 1087

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 1088

Odpowiedź

n = 1088

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 0,7

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Statystyka testowa

t = (76,4 − 75)/2 = 0,7

Odpowiedź

t = 0,7

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 0,9354

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Frakcje z prób

p̂₁ = 75/250 = 0,3

p̂₂ = 25/100 = 0,25

p̂ = 100/350 = 0,2857

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,2857·0,7143·(1/250 + 1/100)) = 0,05345

Statystyka testowa

z = (0,3 − 0,25)/0,05345 = 0,9354

Odpowiedź

z = 0,9354

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9983

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 139/6 = 23,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 249

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 888,8

Współczynnik korelacji

r = 249/√(70·888,8) = 0,9983

Odpowiedź

r = 0,9983

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 2,219

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 490/6 = 81,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 422

Prosta regresji

b = 422/70 = 6,029

a = 81,67 − 6,029·7 = 39,47

ŷ = 39,47 + 6,029·x

Wartość przewidywana

ŷ = 39,47 + 6,029·11 = 105,8

Reszta

e = 108 − 105,8 = 2,219

Odpowiedź

e = 2,219

Punkt leży nad prostą.

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income