Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €12 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 1 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 6 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €12 000g = 1%r = 6%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Na początku każdego roku przez 17 lat wpłacasz €1 000, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 7 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 17? Wyznacz FV.
A = €1 000i = 7%n = 17
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €14 000, €17 000, €10 000. Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €12 000, €16 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −25 000CF1 = 12 000CF2 = 16 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 7 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €1 058, gdy rentowność do wykupu wynosi 5%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.
F = €1 000n = 7P = €1 058YTM = 5%
c = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 3% zostanie wykupiona po 7 latach, a jej cena wynosi €1 065. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 3%n = 7P = €1 065
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €4 000 000 i dług o wartości €4 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 4,5%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.
Spółka ma 2 500 000 akcji po €40,00 za sztukę i 20 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 7%, a stopa podatkowa 25%. Współczynnik beta akcji to 0,6, stopa wolna od ryzyka 2%, a stopa zwrotu z rynku 9%. Wyznacz WACC.
β = 0,6rf = 2%rm = 9%rd = 7%T = 25%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 60, 39, 29, 23, 51, 33, 24.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży poniżej 44?
μ = 60σ = 8x = 44
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 4 kul czerwonych i 4 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
4 / 4
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Gra kosztuje €5. Wygrywasz €25 z prawdopodobieństwem 0,3 i €250 z prawdopodobieństwem 0,02; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.
stawka = €5€25: p = 0,3€250: p = 0,02
E(G) = €
13.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,9439. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,9439
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 75% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 100 pktσ = 15 pkt75%
x = pkt
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 30 elementów ma średnią 22 i odchylenie standardowe s = 16,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 30x̄ = 22s = 16,590%t(29) = 1,699
E =
16.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 37. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?
σ = 37E = 295%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 16 studentów ma średni wynik 502,6 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 502,6s = 15n = 16
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 3 jednostek z mocą 95 %. Odchylenie standardowe wynosi 6. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,01moc = 95%δ = 3σ = 6zα = 2,326zβ = 1,645
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (6,5, 71). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(6,5, 71)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 240000 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik renty zwykłej
((1 + 0,07)17 − 1)/0,07 = 30,84
Renta płatna z góry
Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.
FV = 1 000·30,84·1,07 = €32 999,03
Odpowiedź
FV = €32 999,03
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −7609 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 14 000/1,05 = 13 333,33
CF2/(1 + 0,05)2 = 17 000/1,103 = 15 419,50
CF3/(1 + 0,05)3 = 10 000/1,158 = 8 638,38
Zsumuj
NPV = €−7 608,79
Odpowiedź
NPV = €−7 608,79
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 7,522 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(5%) = 941,04
NPV(10%) = −867,77
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
IRR ≈ 5 + 5·941,04/(941,04 − (−867,77)) = 7,601%
dokładnie: NPV(7,522%) = 0 → IRR = 7,522%
Odpowiedź
IRR = 7,522%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: c = 6,002 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wartość bieżąca wartości nominalnej
1000·(1 + 0,05)−7 = €710,68
Kupon
C = (1058 − 710,68)/5,786 = €60,02
Oprocentowanie kuponu
c = 60,02/1000 = 6,002%
Odpowiedź
c = 6,002%
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 1,996 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€1 065 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Rozwiąż numerycznie
P(1%) = €1 134,56, P(2%) = €1 064,72
YTM = 1,996%
Odpowiedź
YTM = 1,996%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,777 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·14% + 0,5·4,5%·(1 − 0,21) = 8,777%
Odpowiedź
WACC = 8,777%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 6,047 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Odpowiedź
P = 0,02275
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,2143
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0,2143
Odpowiedź
P = 0,2143
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: E(G) = 7,5 €
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Wyniki netto
G: 20 (p = 0,3), 245 (p = 0,02), −5 (p = 0,68)
Wartość oczekiwana
E(G) = 20·0,3 + 245·0,02 − 5·0,68 = 7,5 €
Odpowiedź
E(G) = 7,5 €
Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = 1,91
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = (1 + 0,9439)/2 = 0,9719
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,9719 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 1,91
Odpowiedź
z = 1,91
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 110,1 pkt
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,75
z z tablicy
z ≈ 0,67
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 100 + 0,67·15 = 110,1 pkt
Odpowiedź
x = 110,1 pkt
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 5,118
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 29, t = 1,699
Margines błędu
E = 1,699·16,5/√30 = 5,118
Odpowiedź
E = 5,118
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 1315
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,96·37/2)² = 1315
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 1315
Odpowiedź
n = 1315
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 0,6933
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75
Statystyka testowa
t = (502,6 − 500)/3,75 = 0,6933
Odpowiedź
t = 0,6933
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 64
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = ((2,326 + 1,645)·6/3)² = 63,08
Zaokrąglij w górę
n = 64
Odpowiedź
n = 64
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9941
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 403/5 = 80,6
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1315
Współczynnik korelacji
r = 228/√(40·1315) = 0,9941
Odpowiedź
r = 0,9941
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = 2,376
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 391/6 = 65,17
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60,5
Prosta regresji
b = 60,5/17,5 = 3,457
a = 65,17 − 3,457·5,5 = 46,15
ŷ = 46,15 + 3,457·x
Wartość przewidywana
ŷ = 46,15 + 3,457·6,5 = 68,62
Reszta
e = 71 − 68,62 = 2,376
Odpowiedź
e = 2,376
Punkt leży nad prostą.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.