Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €6 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 1 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 7 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €6 000g = 1%r = 7%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt hipoteczny €150 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 20 lat przy 2,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile pozostaje do spłaty tuż po racie na koniec roku 6? Wyznacz saldo zadłużenia B.
P = €150 0002,4% / 12N = 240k = 72
B = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €50 000. Przynosi €10 500 na koniec każdego roku przez 6 lat, a potem można ją sprzedać za €5 000. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €50 000CF = €10 500S = €5 000n = 6r = 10%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Inwestycja €80 000 przynosi €11 000 na koniec każdego roku przez 10 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
C0 = €80 000CF = €11 000n = 10
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% i zapada za 12 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 2,5% na 4%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?
F = €1 000kupon = 7%n = 12y1 = 2,5%y2 = 4%
ΔP = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja jest notowana po €1 080 przy rentowności do wykupu 6% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 6,8 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność spadnie o 25 punktów bazowych.
P0 = €1 080y = 6%D = 6,8Δy = −25 bp
P = €
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €2 000 000 i dług o wartości €6 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 8%, koszt długu przed opodatkowaniem 4,5%, a stopa podatkowa 25%. Wyznacz WACC.
Spółka ma 5 000 000 akcji po €18,50 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3,5%, a stopa podatkowa 21%. Współczynnik beta akcji to 0,9, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a stopa zwrotu z rynku 8,5%. Wyznacz WACC.
β = 0,9rf = 1,5%rm = 8,5%rd = 3,5%T = 21%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 47, 34, 10, 59, 24.
n = 5
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży poniżej 115?
μ = 100σ = 10x = 115
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 4 osób z grupy 10 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 10k = 4
N =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 11 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,3, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 2 poprawnych odpowiedzi?
n = 11p = 0,3k = 2
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,9668. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,9668
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 80% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 500 hσ = 40 h80%
x = h
15.Przedziały ufnościŚredni
U 16 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 5,8 i odchylenie standardowe 4. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.
n = 16d̄ = 5,8sd = 499%t(15) = 2,947
dolna granica = mmHg
16.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 10. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5?
σ = 10E = 2,599%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 49 studentów ma średni wynik 198,2 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 198,2s = 4n = 49
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 60 z 200 pacjentów leczonych metodą A i 129 z 300 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 200x₂ = 129n₂ = 300
z =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 5
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 4?
n = 6ŷ = 4
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 100000 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Rata miesięczna
i = 0,002, N = 240
A = 150 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−240) = €787,57
Wartość bieżąca pozostałych rat
To, co pozostaje do spłaty, musi zostać dokładnie spłacone pozostałymi ratami.
N − k = 240 − 72 = 168
B = 787,6·(1 − (1 + 0,002)−168)/0,002 = €112 282,29
Odpowiedź
B = €112 282,29
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −1447 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca rocznych przepływów
10 500·4,355 = 45 730,24
Wartość bieżąca wartości końcowej
5 000/1,772 = 2 822,37
NPV
NPV = −50 000 + 45 730,24 + 2 822,37 = −€1 447,39
Odpowiedź
NPV = −€1 447,39
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 6,253 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wymagany współczynnik renty
(1 − (1 + i)−10)/i = 80 000/11 000 = 7,273
Wyznacz stopę
Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.
i = 6%: 7,36
i = 7%: 7,024
IRR = 6,253%
Odpowiedź
IRR = 6,253%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: ΔP = −180 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Zmodyfikowana duration
Dmod = 6,8/1,06 = 6,415
Szacowana zmiana ceny
%ΔP ≈ −6,415·(−0,0025) = 1,604%
P ≈ 1080·(1 + 0,01604) = €1 097,32
Odpowiedź
P = €1 097,32
Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 4,531 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €8 000 000, E/V = 0,25, D/V = 0,75
WACC
WACC = 0,25·8% + 0,75·4,5%·(1 − 0,25) = 4,531%
Odpowiedź
WACC = 4,531%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,309 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 1,5
Tablica rozkładu normalnego
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Odpowiedź
P = 0,9332
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 210
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(10, 4) = (10·9·8·7)/(4·3·2·1) = 210
Odpowiedź
N = 210
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,1998
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = (1 + 0,9668)/2 = 0,9834
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,9834 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 2,13
Odpowiedź
z = 2,13
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 466 h
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,2
z z tablicy
z ≈ −0,84
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 500 − 0,84·40 = 466 h
Odpowiedź
x = 466 h
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 2,853 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 15, t = 2,947
Margines błędu
E = 2,947·4/√16 = 2,947
Przedział
5,8 ± 2,947 → [2,853, 8,747]
Odpowiedź
dolna granica = 2,853 mmHg
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 107
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (2,576·10/2,5)² = 106,2
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 107
Odpowiedź
n = 107
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −3,15
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714
Statystyka testowa
t = (198,2 − 200)/0,5714 = −3,15
Odpowiedź
t = −3,15
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = −2,937
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 60/200 = 0,3
p̂₂ = 129/300 = 0,43
p̂ = 189/500 = 0,378
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,378·0,622·(1/200 + 1/300)) = 0,04426
Statystyka testowa
z = (0,3 − 0,43)/0,04426 = −2,937
Odpowiedź
z = −2,937
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9888
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 105/5 = 21
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134
Syy = Σ(y − ȳ)² = 454
Współczynnik determinacji
r² = 134²/(40·454) = 0,9888
Odpowiedź
r² = 0,9888
Około 98,88% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 3,173
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 65/6 = 10,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 125
Prosta regresji
b = 125/70 = 1,786
a = 10,83 − 1,786·7 = −1,667
ŷ = −1,667 + 1,786·x
Wyznacz x
x = (4 − (−1,667))/1,786 = 3,173
Odpowiedź
x = 3,173
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.