Inwestujesz €12 000 przy nominalnej stopie 2 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 3 latach.
PV = €12 0002% / 4n = 3
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Za 5 lat chcesz mieć €30 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.
FV = €30 0006% / 12N = 60
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €15 000, €21 000, €14 000. Koszt kapitału wynosi 15 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje dziś €150 000. Jego przepływ wynosi €37 500 na koniec roku 1 i rośnie o 3 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 4. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €150 000CF1 = €37 500g = 3%n = 4r = 8%
NPV = €
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 10 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €1 306, gdy rentowność do wykupu wynosi 2,5%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.
F = €1 000n = 10P = €1 306YTM = 2,5%
c = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 4% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €865. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 4%n = 9P = €865
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,25. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 4,5%, a stawka podatku 25%. Wyznacz WACC.
D/E = 0,25re = 14%rd = 4,5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM i WACCTrudny
Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 0,7. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,75. Stawka podatku wynosi 30%, stopa wolna od ryzyka 1%, a rynkowa premia za ryzyko 5%. Wyznacz koszt kapitału własnego re przy nowej strukturze kapitału.
βU = 0,7D/E = 0,75T = 30%rf = 1%rm − rf = 5%
re = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 26, 58, 42, 13, 23.
n = 5
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 8. Wyznacz wynik z z dla wyniku 60.
μ = 50σ = 8x = 60
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,35, 0,3, 0,15
Var(X) =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
X ma pokazany rozkład, a Y = 5X + 4. Wyznacz odchylenie standardowe σY zmiennej Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,35, 0,15, 0,2Y = 5X + 4
σY =
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Jaka część wartości leży między 420 a 582 h? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 500σ = 40x1 = 420x2 = 582
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 20% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 250 gσ = 5 g20%
x = g
15.Przedziały ufnościŚredni
U 15 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią −1,9 i odchylenie standardowe 2,6. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95 % dla średniej różnicy.
n = 15d̄ = −1,9sd = 2,695%t(14) = 2,145
dolna granica = mmHg
16.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 14 poletek, średni plon 50,5 kg, odchylenie standardowe 9,5 kg. Grupa poletek 2: 8 poletek, średnia 46 kg, odchylenie standardowe 10 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
Próba 100 studentów ma średni wynik 72,2 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 72,2s = 20n = 100
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2? Odchylenie standardowe wynosi 4. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 4E = 290%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (5, 20). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 5(5, 20)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 12740 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 15 000/1,15 = 13 043,48
CF2/(1 + 0,15)2 = 21 000/1,322 = 15 879,02
CF3/(1 + 0,15)3 = 14 000/1,521 = 9 205,23
Zsumuj
NPV = €−6 872,28
Odpowiedź
NPV = €−6 872,28
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −20462 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: c = 5,996 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wartość bieżąca wartości nominalnej
1000·(1 + 0,025)−10 = €781,20
Kupon
C = (1306 − 781,20)/8,752 = €59,96
Oprocentowanie kuponu
c = 59,96/1000 = 5,996%
Odpowiedź
c = 5,996%
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 5,983 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€865 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Rozwiąż numerycznie
P(5%) = €928,92, P(6%) = €863,97
YTM = 5,983%
Odpowiedź
YTM = 5,983%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 11,88 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi z D/E
E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8
D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2
WACC
WACC = 0,8·14% + 0,2·4,5%·(1 − 0,25) = 11,88%
Odpowiedź
WACC = 11,88%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 6,337 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Beta lewarowana
βL = 0,7·(1 + 0,7·0,75) = 1,067
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 1% + 1,067·5% = 6,337%
Odpowiedź
re = 6,337%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 17,7
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (60 − 50)/8 = 1,25
Odpowiedź
z = 1,25
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: Var(X) = 3,76
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Średnia
μ = 0·0,2 + 2·0,35 + 4·0,3 + 6·0,15 = 2,8
Średnia kwadratów
E(X²) = 0·0,2 + 4·0,35 + 16·0,3 + 36·0,15 = 11,6
Wariancja
Var(X) = 11,6 − 2,8² = 3,76
Odpowiedź
Var(X) = 3,76
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σY = 5,449
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Rozrzut X
μ = 1,25, Var(X) = 1,188, σX = 1,09
Zmiana liniowa
σY = |5|·1,09 = 5,449
Odpowiedź
σY = 5,449
Średnia się przesuwa: E(Y) = 5·1,25 + 4 = 10,25.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,9571
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (420 − 500)/40 = −2
z₂ = (582 − 500)/40 = 2,05
Pole pomiędzy
P = Φ(2,05) − Φ(−2) = 0,9798 − 0,02275 = 0,9571
Odpowiedź
P = 0,9571
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 245,8 g
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,2
z z tablicy
z ≈ −0,84
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g
Odpowiedź
x = 245,8 g
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −3,34 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 14, t = 2,145
Margines błędu
E = 2,145·2,6/√15 = 1,44
Przedział
−1,9 ± 1,44 → [−3,34, −0,46]
Odpowiedź
dolna granica = −3,34 mmHg
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 7,399 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (13·9,5² + 7·10²)/20 = 93,66
sp = 9,678
Margines błędu
E = 1,725·9,678·√(1/14 + 1/8) = 7,399
Odpowiedź
E = 7,399 kg
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −1,4
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 20/√100 = 20/10 = 2
Statystyka testowa
t = (72,2 − 75)/2 = −1,4
Odpowiedź
t = −1,4
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 11
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (1,645·4/2)² = 10,82
Zaokrąglij w górę
n = 11
Odpowiedź
n = 11
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = −0,9846
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 93/5 = 18,6
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Syy = Σ(y − ȳ)² = 75,2
Współczynnik korelacji
r = −27/√(10·75,2) = −0,9846
Odpowiedź
r = −0,9846
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = −1,8
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 128/5 = 25,6
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152
Prosta regresji
b = 152/40 = 3,8
a = 25,6 − 3,8·6 = 2,8
ŷ = 2,8 + 3,8·x
Wartość przewidywana
ŷ = 2,8 + 3,8·5 = 21,8
Reszta
e = 20 − 21,8 = −1,8
Odpowiedź
e = −1,8
Punkt leży pod prostą.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.