Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €1 000 przy nominalnej stopie 3 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 10 latach.

PV = €1 0003% / 4n = 10

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €8 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 5 lat. Oprocentowanie wynosi 2,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €8 0002,4% / 12N = 60

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €60 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €29 000, €23 000, €20 000. Koszt kapitału wynosi 7,000000000000001 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −60 000CF₁ = 29 000CF₂ = 23 000CF₃ = 20 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €18 000, €17 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 000CF₂ = 17 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 3 latach. Rentowność do wykupu wynosi 8% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 5%YTM = 8%n = 3

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 4% zostanie wykupiona po 5 latach, a jej cena wynosi €895. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 4%n = 5P = €895

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €10 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stopa podatkowa 25%. Wyznacz WACC.

E = €10 000 000D = €1 000 000r_e = 14%r_d = 7%T = 25%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 1 000 000 akcji po €49,50 za sztukę i 20 000 obligacji notowanych po €1 050 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4%, a stopa podatkowa 25,8%. Współczynnik beta akcji to 1,3, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a stopa zwrotu z rynku 10%. Wyznacz WACC.

β = 1,3r_f = 3,5%r_m = 10%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 20, 50, 57, 33, 52.

n = 5

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży powyżej 62?

μ = 50σ = 20x = 62

P =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 5 kul czerwonych i 3 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

5 / 3

P =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 6 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,2. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 6p = 0,2

P =

13.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,6664. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,6664

z =

14.Rozkład normalnyTrudny

Wzrost X mężczyzn i wzrost Y kobiet w grupie są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 180 cm i odchylenie standardowe 10 cm, Y ma średnią 170 cm i odchylenie standardowe 12 cm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.Przedziały ufnościŚredni

Próba 8 elementów ma średnią 13,5 i odchylenie standardowe s = 4. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 8x̄ = 13,5s = 495%t(7) = 2,365

górna granica =

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 24. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 5?

σ = 24E = 595%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 49 studentów ma średni wynik 47,49 i odchylenie standardowe z próby 8. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 47,49s = 8n = 49

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 16 pomiarów ma średnią 202,8. Odchylenie standardowe populacji wynosi 10. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 202,8σ = 10n = 1695%

L =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 135Σy = 373Σx² = 3195Σy² = 24993Σxy = 8922

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 5,5.

n = 6x = 5,5

ŷ =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 1348 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·10 = 40

Wartość przyszła

FV = 1 000·(1 + 0,0075)⁴⁰ = 1 000·1,348 = €1 348,35

Odpowiedź

FV = €1 348,35

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 141,6 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·5 = 60

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,887

A = 8 000·0,002/(1 − 0,887) = €141,63

Odpowiedź

A = €141,63

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 3518 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 29 000/1,07 = 27 102,80

CF₂/(1 + 0,07)² = 23 000/1,145 = 20 089,09

CF₃/(1 + 0,07)³ = 20 000/1,225 = 16 325,96

Zsumuj

NPV = €3 517,85

Odpowiedź

NPV = €3 517,85

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 25,98 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(25%) = 280,00

NPV(30%) = −1 094,67

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 25 + 5·280,00/(280,00 − (−1 094,67)) = 26,02%

dokładnie: NPV(25,98%) = 0 → IRR = 25,98%

Odpowiedź

IRR = 25,98%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 921,4 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €25,00, i = 0,04, N = 6

Wartość bieżąca kuponów

€25,00·(1 − 0,7903)/0,04 = €131,05

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,7903 = €790,31

Cena

P = €921,37

Odpowiedź

P = €921,37

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 6,529 %

Równanie dla rentowności

€895 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Rozwiąż numerycznie

P(6%) = €915,75, P(7%) = €876,99

YTM = 6,529%

Odpowiedź

YTM = 6,529%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 13,2 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091

WACC

WACC = 0,9091·14% + 0,09091·7%·(1 − 0,25) = 13,2%

Odpowiedź

WACC = 13,2%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,275 %

Wartości rynkowe

E = 1 000 000·€49,50 = €49 500 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,3·6,5% = 11,95%

Wagi

V = €70 500 000, E/V = 0,7021, D/V = 0,2979

WACC

WACC = 0,7021·11,95% + 0,2979·4%·(1 − 0,258) = 9,275%

Odpowiedź

WACC = 9,275%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 15,44

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 212/5 = 42,4

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−22,4)² + 7,6² + 14,6² + (−9,4)² + 9,6² = 953,2

Odchylenie standardowe

s = √(953,2/4) = 15,44

Odpowiedź

s = 15,44

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,2743

Standaryzuj

z = 0,6

Tablica rozkładu normalnego

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Odpowiedź

P = 0,2743

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,3571

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 0,3571

Odpowiedź

P = 0,3571

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,6554

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,8⁶ = 0,2621

P(X = 1) = 6·0,2·0,8⁵ = 0,3932

Dodaj

P = 0,2621 + 0,3932 = 0,6554

Odpowiedź

P = 0,6554

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = −0,43

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,6664 = 0,3336

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,3336 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = −0,43

Odpowiedź

z = −0,43

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7389

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standaryzuj

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Odpowiedź

P = 0,7389

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 16,84

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Margines błędu

E = 2,365·4/√8 = 3,345

Przedział

13,5 ± 3,345 → [10,16, 16,84]

Odpowiedź

górna granica = 16,84

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 89

Wyznacz n

n = (1,96·24/5)² = 88,51

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 89

Odpowiedź

n = 89

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −2,196

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Statystyka testowa

t = (47,49 − 50)/1,143 = −2,196

Odpowiedź

t = −2,196

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 197,9

Margines błędu

E = 1,96·10/√16 = 4,9

Granica przedziału

L = 202,8 − 4,9 = 197,9

Odpowiedź

L = 197,9

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9931

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 8922 − 135·373/6 = 529,5

S_xx = 3195 − 135²/6 = 157,5

S_yy = 24993 − 373²/6 = 1805

Współczynnik korelacji

r = 529,5/√(157,5·1805) = 0,9931

Odpowiedź

r = 0,9931

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 12,63

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 108/6 = 18

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47

Prosta regresji

b = −47/17,5 = −2,686

a = 18 − (−2,686)·3,5 = 27,4

ŷ = 27,4 − 2,686·x

Prognoza

ŷ = 27,4 + (−2,686)·5,5 = 12,63

Odpowiedź

ŷ = 12,63

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income