Renta wypłaca €1 500 na koniec każdego roku przez 18 lat. Stopa procentowa wynosi 5 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.
A = €1 500i = 5%n = 18
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Odkładasz €300 na koniec każdego miesiąca przez 21 lat. Konto daje 2,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.
A = €3002,4% / 12N = 252
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €20 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €5 000, €10 000, €8 000. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €17 000, €17 500, €12 000, €20 000 na koniec lat od 1 do 4. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 10 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 9 latach. Rentowność do wykupu wynosi 2,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 6%YTM = 2,5%n = 9
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% i zapada za 3 lat. Rentowność do wykupu wynosi 7%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.
F = €1 000kupon = 3%n = 3YTM = 7%
D = lata
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €4 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stopa podatkowa 28%. Wyznacz WACC.
Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 1,2. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 1. Stawka podatku wynosi 21%, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a rynkowa premia za ryzyko 4%. Wyznacz koszt kapitału własnego re przy nowej strukturze kapitału.
βU = 1,2D/E = 1T = 21%rf = 1,5%rm − rf = 4%
re = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 44, 54, 19, 35, 20, 41, 21.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 15. Wyznacz wynik z z dla wyniku 62,5.
μ = 70σ = 15x = 62,5
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 8 kul czerwonych i 8 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
8 / 8
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 9 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,3, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 5 poprawnych odpowiedzi?
n = 9p = 0,3k = 5
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Jaka część wartości leży między 482 a 580 h? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 500σ = 40x1 = 482x2 = 580
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 25% wszystkich wartości (25. percentyl).
μ = 65σ = 10P = 25%
x = pkt
15.Przedziały ufnościŚredni
U 10 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią −4,7 i odchylenie standardowe 7,2. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.
n = 10d̄ = −4,7sd = 7,299%t(9) = 3,25
E = mmHg
16.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 10 poletek, średni plon 55,5 kg, odchylenie standardowe 6 kg. Grupa poletek 2: 11 poletek, średnia 46,5 kg, odchylenie standardowe 4,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
Próba 16 studentów ma średni wynik 212 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 212s = 20n = 16
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 49 pomiarów ma średnią 74,9. Odchylenie standardowe populacji wynosi 5. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 95 % dla średniej.
x̄ = 74,9σ = 5n = 4995%
L =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5Σx = 30Σy = 130Σx² = 220Σy² = 4004Σxy = 936
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 31?
n = 6ŷ = 31
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 17534 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,4155)/0,05 = 11,69
Wartość bieżąca
PV = 1 500·11,69 = €17 534,38
Odpowiedź
PV = €17 534,38
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 98174 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 5 000/1,12 = 4 464,29
CF2/(1 + 0,12)2 = 10 000/1,254 = 7 971,94
CF3/(1 + 0,12)3 = 8 000/1,405 = 5 694,24
Zsumuj
NPV = €−1 869,53
Odpowiedź
NPV = €−1 869,53
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: MIRR = 17,79 %
Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Wartość końcowa wpływów
17 000·1,13 = 22 627,00
17 500·1,12 = 21 175,00
12 000·1,11 = 13 200,00
20 000·1,10 = 20 000,00
TV = 77 002,00
MIRR
MIRR = (77 002,00/40 000)1/4 − 1 = 17,79%
Odpowiedź
MIRR = 17,79%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 1281 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €30,00, i = 0,0125, N = 18
Wartość bieżąca kuponów
€30,00·(1 − 0,7996)/0,0125 = €480,89
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,7996 = €799,63
Cena
P = €1 280,52
Odpowiedź
P = €1 280,52
Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: D = 2,908 lata
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Wartość bieżąca każdego przepływu
t = 1: 30/1,07 = 28,04, t·PV = 28,04
t = 2: 30/1,145 = 26,20, t·PV = 52,41
t = 3: 1030/1,225 = 840,79, t·PV = 2 522,36
Duration
P = 895,03
D = 2 602,80/895,03 = 2,908
Odpowiedź
D = 2,908 lata
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,822 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556
WACC
WACC = 0,4444·14% + 0,5556·4%·(1 − 0,28) = 7,822%
Odpowiedź
WACC = 7,822%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 10,09 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Beta lewarowana
βL = 1,2·(1 + 0,79·1) = 2,148
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 1,5% + 2,148·4% = 10,09%
Odpowiedź
re = 10,09%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 13,77
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (62,5 − 70)/15 = −0,5
Odpowiedź
z = −0,5
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,2333
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 8/16 · 7/15 = 56/240 = 0,2333
Odpowiedź
P = 0,2333
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,07351
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (482 − 500)/40 = −0,45
z₂ = (580 − 500)/40 = 2
Pole pomiędzy
P = Φ(2) − Φ(−0,45) = 0,9772 − 0,3264 = 0,6509
Odpowiedź
P = 0,6509
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 58,26 pkt
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Powrót do x
x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 pkt
Odpowiedź
x = 58,26 pkt
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 7,4 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 9, t = 3,25
Margines błędu
E = 3,25·7,2/√10 = 7,4
Odpowiedź
E = 7,4 mmHg
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 12,98 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (9·6² + 10·4,5²)/19 = 27,71
sp = 5,264
Margines błędu
E = 1,729·5,264·√(1/10 + 1/11) = 3,977
Przedział
9 ± 3,977 → [5,023, 12,98]
Odpowiedź
górna granica = 12,98 kg
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,4
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
Statystyka testowa
t = (212 − 200)/5 = 2,4
Odpowiedź
t = 2,4
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: L = 73,5
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,96·5/√49 = 1,4
Granica przedziału
L = 74,9 − 1,4 = 73,5
Odpowiedź
L = 73,5
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9874
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 936 − 30·130/5 = 156
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 4004 − 130²/5 = 624
Współczynnik korelacji
r = 156/√(40·624) = 0,9874
Odpowiedź
r = 0,9874
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 11,01
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 119/6 = 19,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 195
Prosta regresji
b = 195/70 = 2,786
a = 19,83 − 2,786·7 = 0,3333
ŷ = 0,3333 + 2,786·x
Wyznacz x
x = (31 − 0,3333)/2,786 = 11,01
Odpowiedź
x = 11,01
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.