Inwestujesz €12 000 przy nominalnej stopie 4,8 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 2 latach.
PV = €12 0004,8% / 4n = 2
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Na początku każdego roku przez 10 lat wpłacasz €2 000, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 8 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 10? Wyznacz FV.
A = €2 000i = 8%n = 10
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €60 000, działa przez 9 lat, a jej eksploatacja kosztuje €5 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.
C0 = €60 000M = €5 000n = 9r = 5%
EAC = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €6 000, €7 500, €4 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −10 000CF1 = 6 000CF2 = 7 500CF3 = 4 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 12 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €849, gdy rentowność do wykupu wynosi 8%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.
F = €1 000n = 12P = €849YTM = 8%
c = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja jest notowana po €900 przy rentowności do wykupu 5% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 8,3 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność spadnie o 75 punktów bazowych.
P0 = €900y = 5%D = 8,3Δy = −75 bp
P = €
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €2 000 000 i dług o wartości €6 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.
Firma ma 4 000 000 akcji notowanych po €51,50; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €61 800 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €2,50 na akcję, a dywidendy rosną o 5% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €61 800 000 i koszt przed opodatkowaniem 6%. Stawka podatku wynosi 28%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 41, 25, 46, 52, 45, 29, 11.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży powyżej 62?
μ = 70σ = 8x = 62
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 7 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 7k = 2
N =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 11 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,3. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 11p = 0,3
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
X ma rozkład normalny ze średnią 60 s i odchyleniem standardowym 5 s; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 45 s i odchyleniem standardowym 4 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 113 s. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 113 s
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 40% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 178 cmσ = 7 cm40%
x = cm
15.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 100 telefonów, średnia 103,5 h, znane odchylenie standardowe 3 h. Model 2: 50 telefonów, średnia 92,5 h, znane odchylenie standardowe 9 h. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
Odchylenie standardowe populacji wynosi 37. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?
σ = 37E = 290%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
16 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 2,34, a odchylenie standardowe różnic 7,8. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 16d̄ = 2,34sd = 7,8
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 105 z 150 pacjentów leczonych metodą A i 123 z 150 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 105n₁ = 150x₂ = 123n₂ = 150
z =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5Σx = 20Σy = 258Σx² = 90Σy² = 13580Σxy = 1081
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 2,5.
n = 6x = 2,5
ŷ =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 13202 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik renty zwykłej
((1 + 0,08)10 − 1)/0,08 = 14,49
Renta płatna z góry
Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.
FV = 2 000·14,49·1,08 = €31 290,97
Odpowiedź
FV = €31 290,97
3.NPV i IRR
Odpowiedź: EAC = 13441 €
Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − 1,05−9)/0,05 = 7,108
Zannualizowana cena zakupu
60 000/7,108 = 8 441,40
EAC
EAC = 8 441,40 + 5 000 = €13 441,40
Odpowiedź
EAC = €13 441,40
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 37,99 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(35%) = 388,66
NPV(40%) = −247,81
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
IRR ≈ 35 + 5·388,66/(388,66 − (−247,81)) = 38,05%
dokładnie: NPV(37,99%) = 0 → IRR = 37,99%
Odpowiedź
IRR = 37,99%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: c = 5,996 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wartość bieżąca wartości nominalnej
1000·(1 + 0,08)−12 = €397,11
Kupon
C = (849 − 397,11)/7,536 = €59,96
Oprocentowanie kuponu
c = 59,96/1000 = 5,996%
Odpowiedź
c = 5,996%
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 953,4 €
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Zmodyfikowana duration
Dmod = 8,3/1,05 = 7,905
Szacowana zmiana ceny
%ΔP ≈ −7,905·(−0,0075) = 5,929%
P ≈ 900·(1 + 0,05929) = €953,36
Odpowiedź
P = €953,36
Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 5,963 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €8 000 000, E/V = 0,25, D/V = 0,75
WACC
WACC = 0,25·12% + 0,75·5%·(1 − 0,21) = 5,963%
Odpowiedź
WACC = 5,963%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,764 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Odpowiedź
P = 0,8413
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 21
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(7, 2) = (7·6)/(2·1) = 21
Odpowiedź
N = 21
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,113
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,711 = 0,01977
P(X = 1) = 11·0,3·0,710 = 0,09322
Dodaj
P = 0,01977 + 0,09322 = 0,113
Odpowiedź
P = 0,113
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,1056
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standaryzuj
z = (113 − 105)/6,403 = 1,25
Górny ogon
P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056
Odpowiedź
P = 0,1056
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 176,3 cm
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,4
z z tablicy
z ≈ −0,25
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 178 − 0,25·7 = 176,3 cm
Odpowiedź
x = 176,3 cm
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 3,369 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 103,5 − 92,5 = 11
Błąd standardowy
SE = √(3²/100 + 9²/50) = 1,308
Margines błędu
E = 2,576·1,308 = 3,369
Odpowiedź
E = 3,369 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 927
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·37/2)² = 926,1
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 927
Odpowiedź
n = 927
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 1,2
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 7,8/√16 = 1,95
Statystyka testowa
t = 2,34/1,95 = 1,2
Odpowiedź
t = 1,2
Przy df = 15 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,131; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = −2,433
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 105/150 = 0,7
p̂₂ = 123/150 = 0,82
p̂ = 228/300 = 0,76
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,76·0,24·(1/150 + 1/150)) = 0,04932
Statystyka testowa
z = (0,7 − 0,82)/0,04932 = −2,433
Odpowiedź
z = −2,433
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9479
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 1081 − 20·258/5 = 49
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 13580 − 258²/5 = 267,2
Współczynnik korelacji
r = 49/√(10·267,2) = 0,9479
Odpowiedź
r = 0,9479
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 26,76
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 152/6 = 25,33
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25
Prosta regresji
b = −25/17,5 = −1,429
a = 25,33 − (−1,429)·3,5 = 30,33
ŷ = 30,33 − 1,429·x
Prognoza
ŷ = 30,33 + (−1,429)·2,5 = 26,76
Odpowiedź
ŷ = 26,76
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.