Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €8 000 przy nominalnej stopie 5 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 9 latach.

PV = €8 0005% / 12n = 9

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €20 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 7 lat przy 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?

P = €20 0004,8% / 12N = 84

I = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €60 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €29 000, €26 000, €25 000. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 29 000CF₂ = 26 000CF₃ = 25 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €3 500, €3 500, €4 500, €3 500 na koniec lat od 1 do 4. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 12 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.

r = 12%CF₀ = −10 000CF₁ = 3 500CF₂ = 3 500CF₃ = 4 500CF₄ = 3 500

MIRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 3 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 7%YTM = 5%n = 3

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 3% zostanie wykupiona po 4 latach, a jej cena wynosi €945. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 3%n = 4P = €945

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €2 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.

E = €2 000 000D = €1 000 000r_e = 14%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Firma ma 1 000 000 akcji notowanych po €55,50; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €16 700 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €2,70 na akcję, a dywidendy rosną o 3% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €33 300 000 i koszt przed opodatkowaniem 3%. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.

N = 1 000 000P₀ = €55,50księgowy kapitał własny = €16 700 000D₀ = €2,70g = 3%D = €33 300 000r_d = 3%T = 21%

WACC = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 57, 40, 46, 58, 39.

n = 5

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 25. Jaka część P wartości leży poniżej 537,5?

μ = 500σ = 25x = 537,5

P =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,2, 0,25, 0,3

σ =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 8 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,25. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 8p = 0,25

P =

13.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,1379. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,1379

z =

14.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 10% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 178 cmσ = 7 cm10%

x = cm

15.Przedziały ufnościŚredni

Przedział ufności 99 % dla średniej, oparty na 50 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 3,1. Jaki jest margines błędu E₂ przedziału 95 % opartego na 450 obserwacjach?

99%n₁ = 50E₁ = 3,195%n₂ = 450

E₂ =

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 13. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?

σ = 13E = 1,590%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 16 studentów ma średni wynik 97,25 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,25s = 5n = 16

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 50 przeciw H₁: μ < 50 przeprowadza się na poziomie α = 0.05 na próbie o liczebności 100; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 5. W rzeczywistości średnia wynosi 48.95. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.

μ₀ = 50μ = 48,95σ = 5n = 100α = 0,05

β = %

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (8, 61). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(8, 61)

e =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 12535 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,05/12 = 0,004167

N = m·n = 12·9 = 108

Wartość przyszła

FV = 8 000·(1 + 0,004167)¹⁰⁸ = 8 000·1,567 = €12 534,77

Odpowiedź

FV = €12 534,77

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: I = 3587 €

Rata miesięczna

i = 0,004, N = 84

A = 20 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻⁸⁴) = €280,80

Łączne odsetki

I = N·A − P = 84·280,8 − 20 000 = €3 587,41

Odpowiedź

I = €3 587,41

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 4414 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 29 000/1,12 = 25 892,86

CF₂/(1 + 0,12)² = 26 000/1,254 = 20 727,04

CF₃/(1 + 0,12)³ = 25 000/1,405 = 17 794,51

Zsumuj

NPV = €4 414,40

Odpowiedź

NPV = €4 414,40

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: MIRR = 15,58 %

Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Wartość końcowa wpływów

3 500·1,12³ = 4 917,25

3 500·1,12² = 4 390,40

4 500·1,12¹ = 5 040,00

3 500·1,12⁰ = 3 500,00

TV = 17 847,65

MIRR

MIRR = (17 847,65/10 000)^1/4 − 1 = 15,58%

Odpowiedź

MIRR = 15,58%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1055 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €35,00, i = 0,025, N = 6

Wartość bieżąca kuponów

€35,00·(1 − 0,8623)/0,025 = €192,78

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,8623 = €862,30

Cena

P = €1 055,08

Odpowiedź

P = €1 055,08

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 4,534 %

Równanie dla rentowności

€945 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Rozwiąż numerycznie

P(4%) = €963,70, P(5%) = €929,08

YTM = 4,534%

Odpowiedź

YTM = 4,534%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 10,65 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €3 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·14% + 0,3333·5%·(1 − 0,21) = 10,65%

Odpowiedź

WACC = 10,65%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,896 %

Koszt kapitału własnego

D₁ = 2,7·1,03 = €2,78

r_e = 2,781/55,5 + 0,03 = 8,011%

Wartości rynkowe

E = 1 000 000·€55,50 = €55 500 000

V = €88 800 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·8,011% + 0,375·3%·(1 − 0,21) = 5,896%

Odpowiedź

WACC = 5,896%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 9,083

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 240/5 = 48

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 9² + (−8)² + (−2)² + 10² + (−9)² = 330

Odchylenie standardowe

s = √(330/4) = 9,083

Odpowiedź

s = 9,083

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9332

Standaryzuj

z = 1,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Odpowiedź

P = 0,9332

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,158

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,25 + 1·0,2 + 2·0,25 + 3·0,3 = 1,6

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,2 + 4·0,25 + 9·0,3 = 3,9

Wariancja

Var(X) = 3,9 − 1,6² = 1,34

σ = √1,34 = 1,158

Odpowiedź

σ = 1,158

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,3671

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,75⁸ = 0,1001

P(X = 1) = 8·0,25·0,75⁷ = 0,267

Dodaj

P = 0,1001 + 0,267 = 0,3671

Odpowiedź

P = 0,3671

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,09

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,1379 = 0,8621

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,8621 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,09

Odpowiedź

z = 1,09

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 187 cm

Pole po lewej

Φ(z) = 0,9

z z tablicy

z ≈ 1,28

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 178 + 1,28·7 = 187 cm

Odpowiedź

x = 187 cm

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: E₂ = 0,7862

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Stosunek marginesów

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(50/450) = 0,2536

Nowy margines

E₂ = 3,1·0,2536 = 0,7862

Odpowiedź

E₂ = 0,7862

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 204

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,645·13/1,5)² = 203,3

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 204

Odpowiedź

n = 204

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −2,2

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Statystyka testowa

t = (97,25 − 100)/1,25 = −2,2

Odpowiedź

t = −2,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: β = 32,46 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 5/√100 = 0,5

x̄_c = 50 − 1,645·0,5 = 49,18

z przy prawdziwej średniej

z = (49,18 − 48,95)/0,5 = 0,455

Błąd II rodzaju

moc = P(Z < 0.455) = 67.54%

β = 100% − 67,54% = 32,46%

Odpowiedź

β = 32,46%

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9401

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 484/6 = 80,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 278

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1249

Współczynnik korelacji

r = 278/√(70·1249) = 0,9401

Odpowiedź

r = 0,9401

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 2,75

Średnie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 214/5 = 42,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206

Prosta regresji

b = 206/40 = 5,15

a = 42,8 − 5,15·5 = 17,05

ŷ = 17,05 + 5,15·x

Wartość przewidywana

ŷ = 17,05 + 5,15·8 = 58,25

Reszta

e = 61 − 58,25 = 2,75

Odpowiedź

e = 2,75

Punkt leży nad prostą.

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income