Renta wypłaca €2 000 na koniec każdego roku przez 18 lat. Stopa procentowa wynosi 5 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.
A = €2 000i = 5%n = 18
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt hipoteczny €150 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 30 lat przy 2,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile pozostaje do spłaty tuż po racie na koniec roku 16? Wyznacz saldo zadłużenia B.
P = €150 0002,4% / 12N = 360k = 192
B = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €20 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €9 000, €6 000, €8 000, €7 000. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €13 500, €11 500, €8 500 na koniec lat od 1 do 3. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 6 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 7 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 5%YTM = 5,5%n = 7
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% i zapada za 6 lat. Rentowność do wykupu wynosi 9%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.
F = €1 000kupon = 4%n = 6YTM = 9%
D = lata
7.CAPM i WACCŚredni
Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €10 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €2 000 000 i długiem o wartości €3 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt akcji uprzywilejowanych 7,5%, a koszt długu przed opodatkowaniem 5%. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC.
Spółka ma 5 000 000 akcji po €21,00 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €1 050 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3%, a stopa podatkowa 28%. Współczynnik beta akcji to 1,1, stopa wolna od ryzyka 2%, a stopa zwrotu z rynku 7,5%. Wyznacz WACC.
β = 1,1rf = 2%rm = 7,5%rd = 3%T = 28%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 56, 19, 23, 21, 11, 40, 24.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży poniżej 147,5?
μ = 170σ = 15x = 147,5
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 5 osób z grupy 9 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 9k = 5
N =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 7 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,5, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 1 poprawnych odpowiedzi?
n = 7p = 0,5k = 1
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 57,5 a 67,5 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 65σ = 10x1 = 57,5x2 = 67,5
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 90% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 250 gσ = 5 g90%
x = g
15.Przedziały ufnościŚredni
Przedział ufności 90 % dla średniej, oparty na 25 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 3,5. Jaki jest margines błędu E₂ przedziału 95 % opartego na 50 obserwacjach?
90%n₁ = 25E₁ = 3,595%n₂ = 50
E₂ =
16.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 35. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 4?
σ = 35E = 490%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
10 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi −5,6, a odchylenie standardowe różnic 7,7. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = −5,6sd = 7,7
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 2,5 jednostek z mocą 90 %. Odchylenie standardowe wynosi 9. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,01moc = 90%δ = 2,5σ = 9zα = 2,326zβ = 1,282
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 5
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (2,5, 19). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(2,5, 19)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 23379 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,4155)/0,05 = 11,69
Wartość bieżąca
PV = 2 000·11,69 = €23 379,17
Odpowiedź
PV = €23 379,17
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: B = 83390 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Rata miesięczna
i = 0,002, N = 360
A = 150 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−360) = €584,91
Wartość bieżąca pozostałych rat
To, co pozostaje do spłaty, musi zostać dokładnie spłacone pozostałymi ratami.
N − k = 360 − 192 = 168
B = 584,9·(1 − (1 + 0,002)−168)/0,002 = €83 390,05
Odpowiedź
B = €83 390,05
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 3932 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 9 000/1,1 = 8 181,82
CF2/(1 + 0,1)2 = 6 000/1,21 = 4 958,68
CF3/(1 + 0,1)3 = 8 000/1,331 = 6 010,52
CF4/(1 + 0,1)4 = 7 000/1,464 = 4 781,09
Zsumuj
NPV = €3 932,11
Odpowiedź
NPV = €3 932,11
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: MIRR = 12,78 %
Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Wartość końcowa wpływów
13 500·1,062 = 15 168,60
11 500·1,061 = 12 190,00
8 500·1,060 = 8 500,00
TV = 35 858,60
MIRR
MIRR = (35 858,60/25 000)1/3 − 1 = 12,78%
Odpowiedź
MIRR = 12,78%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 971,3 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €25,00, i = 0,0275, N = 14
Wartość bieżąca kuponów
€25,00·(1 − 0,684)/0,0275 = €287,28
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,684 = €684,00
Cena
P = €971,27
Odpowiedź
P = €971,27
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: D = 5,364 lata
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Wartość bieżąca każdego przepływu
t = 1: 40/1,09 = 36,70, t·PV = 36,70
t = 2: 40/1,188 = 33,67, t·PV = 67,33
t = 3: 40/1,295 = 30,89, t·PV = 92,66
t = 4: 40/1,412 = 28,34, t·PV = 113,35
t = 5: 40/1,539 = 26,00, t·PV = 129,99
t = 6: 1040/1,677 = 620,12, t·PV = 3 720,71
Duration
P = 775,70
D = 4 160,74/775,70 = 5,364
Odpowiedź
D = 5,364 lata
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 9,123 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1,5
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Odpowiedź
P = 0,06681
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 126
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126
Odpowiedź
N = 126
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,05469
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Wzór dwumianowy
P(X = 1) = 7·0,51·0,56 = 7·0,5·0,01563 = 0,05469
Odpowiedź
P = 0,05469
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,3721
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (57,5 − 65)/10 = −0,75
z₂ = (67,5 − 65)/10 = 0,25
Pole pomiędzy
P = Φ(0,25) − Φ(−0,75) = 0,5987 − 0,2266 = 0,3721
Odpowiedź
P = 0,3721
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 243,6 g
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,1
z z tablicy
z ≈ −1,28
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 250 − 1,28·5 = 243,6 g
Odpowiedź
x = 243,6 g
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E₂ = 2,949
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Stosunek marginesów
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(25/50) = 0,8425
Nowy margines
E₂ = 3,5·0,8425 = 2,949
Odpowiedź
E₂ = 2,949
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 208
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·35/4)² = 207,2
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 208
Odpowiedź
n = 208
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −2,3
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 7,7/√10 = 2,435
Statystyka testowa
t = −5,6/2,435 = −2,3
Odpowiedź
t = −2,3
Przy df = 9 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,262; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 169
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = ((2,326 + 1,282)·9/2,5)² = 168,7
Zaokrąglij w górę
n = 169
Odpowiedź
n = 169
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9779
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 123/5 = 24,6
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150
Syy = Σ(y − ȳ)² = 575,2
Współczynnik determinacji
r² = 150²/(40·575,2) = 0,9779
Odpowiedź
r² = 0,9779
Około 97,79% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = −3,538
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 121/6 = 20,17
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41,5
Prosta regresji
b = −41,5/17,5 = −2,371
a = 20,17 − (−2,371)·3,5 = 28,47
ŷ = 28,47 − 2,371·x
Wartość przewidywana
ŷ = 28,47 + (−2,371)·2,5 = 22,54
Reszta
e = 19 − 22,54 = −3,538
Odpowiedź
e = −3,538
Punkt leży pod prostą.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.