Za 8 lat potrzebujesz €50 000. Konto daje 6 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.
FV = €50 0006% / 4n = 8
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Odkładasz €300 na koniec każdego miesiąca przez 27 lat. Konto daje 2,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.
A = €3002,4% / 12N = 324
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €50 000 i przynosi €13 500 na koniec każdego roku przez 5 lat. Koszt kapitału wynosi 10 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.
Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €17 000, €14 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −25 000CF1 = 17 000CF2 = 14 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 10 latach. Rentowność do wykupu wynosi 4% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 3%YTM = 4%n = 10
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja jest notowana po €1 010 przy rentowności do wykupu 5% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 9 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność spadnie o 25 punktów bazowych.
P0 = €1 010y = 5%D = 9Δy = −25 bp
P = €
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stopa podatkowa 30%. Wyznacz WACC.
Firma ma 2 000 000 akcji notowanych po €22,50; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €27 000 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €2,60 na akcję, a dywidendy rosną o 5% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €45 000 000 i koszt przed opodatkowaniem 6%. Stawka podatku wynosi 28%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 25, 20, 10, 52, 56.
n = 5
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 67,5.
μ = 60σ = 5x = 67,5
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,05, 0,35, 0,25
σ =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Gra kosztuje €2. Wygrywasz €4 z prawdopodobieństwem 0,3 i €20 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.
stawka = €2€4: p = 0,3€20: p = 0,01
E(G) = €
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Jaka część wartości leży między 178,35 a 181,5 cm? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 178σ = 7x1 = 178,35x2 = 181,5
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,04 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
otwór: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 9 elementów ma średnią 23,5 i odchylenie standardowe s = 13,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.
n = 9x̄ = 23,5s = 13,599%t(8) = 3,355
górna granica =
16.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 27. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 5?
σ = 27E = 590%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 60 części ma średnią długość 112,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 4 mm. Linia 2: próba 100 części ma średnią 110,7 mm, znane odchylenie standardowe 5 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 95 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5? Odchylenie standardowe wynosi 15. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 15E = 1,595%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 25.
n = 6x = 25
ŷ =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 31050 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa i liczba okresów
i = 0,06/4 = 0,015
N = 4·8 = 32
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,61 = €31 049,65
Odpowiedź
PV = €31 049,65
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 136572 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Przepływy zdyskontowane i skumulowane
rok 1: 13 500/1,1 = 12 272,73 → Σ = 12 272,73
rok 2: 13 500/1,21 = 11 157,02 → Σ = 23 429,75
rok 3: 13 500/1,331 = 10 142,75 → Σ = 33 572,50
rok 4: 13 500/1,464 = 9 220,68 → Σ = 42 793,18
rok 5: 13 500/1,611 = 8 382,44 → Σ = 51 175,62
Ułamek ostatniego roku
DPB = 4 + 7 206,82/8 382,44 = 4,86
Odpowiedź
DPB = 4,86 lata
Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,704 lat).
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 16,19 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(15%) = 368,62
NPV(20%) = −1 111,11
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €15,00, i = 0,02, N = 20
Wartość bieżąca kuponów
€15,00·(1 − 0,673)/0,02 = €245,27
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,673 = €672,97
Cena
P = €918,24
Odpowiedź
P = €918,24
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 1032 €
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Zmodyfikowana duration
Dmod = 9/1,05 = 8,571
Szacowana zmiana ceny
%ΔP ≈ −8,571·(−0,0025) = 2,143%
P ≈ 1010·(1 + 0,02143) = €1 031,64
Odpowiedź
P = €1 031,64
Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,743 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·10% + 0,2857·3%·(1 − 0,3) = 7,743%
Odpowiedź
WACC = 7,743%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 10,73 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału własnego
D1 = 2,6·1,05 = €2,73
re = 2,73/22,5 + 0,05 = 17,13%
Wartości rynkowe
E = 2 000 000·€22,50 = €45 000 000
V = €90 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·17,13% + 0,5·6%·(1 − 0,28) = 10,73%
Odpowiedź
WACC = 10,73%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 20,32
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (67,5 − 60)/5 = 1,5
Odpowiedź
z = 1,5
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σ = 12,04
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Wyniki netto
G: 2 (p = 0,3), 18 (p = 0,01), −2 (p = 0,69)
Wartość oczekiwana
E(G) = 2·0,3 + 18·0,01 − 2·0,69 = −0,6 €
Odpowiedź
E(G) = −0,6 €
Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,1715
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (178,35 − 178)/7 = 0,05
z₂ = (181,5 − 178)/7 = 0,5
Pole pomiędzy
P = Φ(0,5) − Φ(0,05) = 0,6915 − 0,5199 = 0,1715
Odpowiedź
P = 0,1715
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,9452
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm
Standaryzuj
z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452
Odpowiedź
P = 0,9452
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 38,6
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 8, t = 3,355
Margines błędu
E = 3,355·13,5/√9 = 15,1
Przedział
23,5 ± 15,1 → [8,403, 38,6]
Odpowiedź
górna granica = 38,6
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 79
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·27/5)² = 78,91
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 79
Odpowiedź
n = 79
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 2,504
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Błąd standardowy różnicy
SE = √(4²/60 + 5²/100) = √0,5167 = 0,7188
Statystyka testowa
z = (112,5 − 110,7)/0,7188 = 2,504
Odpowiedź
z = 2,504
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 385
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (1,96·15/1,5)² = 384,2
Zaokrąglij w górę
n = 385
Odpowiedź
n = 385
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9827
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 90/5 = 18
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104
Syy = Σ(y − ȳ)² = 280
Współczynnik korelacji
r = 104/√(40·280) = 0,9827
Odpowiedź
r = 0,9827
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 67,79
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 333/6 = 55,5
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 215
Prosta regresji
b = 215/70 = 3,071
a = 55,5 − 3,071·21 = −9
ŷ = −9 + 3,071·x
Prognoza
ŷ = −9 + 3,071·25 = 67,79
Odpowiedź
ŷ = 67,79
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.