Teoria obwodów 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Metoda potencjałów węzłowych

Prądowe prawo Kirchhoffa
ΣIin = ΣIout
Prąd gałęzi
I = (Va − Vb)/R
Węzeł odniesienia
Vground = 0

Metoda

  1. Wybierz węzeł odniesienia (masę) i oznacz potencjały pozostałych węzłów.
  2. Napisz prądowe prawo Kirchhoffa dla każdego nieznanego węzła: prądy wypływające przez każdą gałąź są równe prądom wpływającym.
  3. Wyraź każdy prąd gałęziowy jako (Va − Vb)/R.
  4. Rozwiąż układ równań, a potem wyznacz potrzebne prądy.

Metoda prądów oczkowych

Napięciowe prawo Kirchhoffa
ΣV = 0 w każdym oczku
Rezystor wspólny
prąd = I1 − I2
Źródło prądu w oczku
wyznacza prąd tego oczka

Metoda

  1. Narysuj prąd płynący zgodnie z ruchem wskazówek zegara w każdym oczku (okienku) obwodu.
  2. Zastosuj napięciowe prawo Kirchhoffa w każdym oczku: suma spadków napięć jest równa zeru.
  3. W rezystorze wspólnym dla dwóch oczek prąd jest różnicą dwóch prądów oczkowych.
  4. Rozwiąż równania; wynik ujemny oznacza, że prąd płynie w przeciwną stronę.

Superpozycja

Superpozycja
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Wyłączone źródło napięcia
zwarcie (0 V)
Wyłączone źródło prądu
rozwarcie (0 A)
Dzielnik napięcia
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Dzielnik prądu
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Metoda

  1. Policz niezależne źródła. Dla każdego źródła rozwiążesz jeden prostszy obwód.
  2. Zostaw jedno źródło, a pozostałe wyłącz: źródło napięciowe staje się zwarciem (przewodem), źródło prądowe staje się rozwarciem (przerwą).
  3. Rozwiąż prostszy obwód dla potrzebnego napięcia lub prądu, pilnując jego kierunku.
  4. Powtórz dla każdego źródła, a potem dodaj składowe z ich znakami.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Metoda

  1. Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
  2. Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
  3. Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
  4. Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
  5. Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Wzmacniacz odwracający
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Wzmacniacz nieodwracający
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Wzmacniacz sumujący
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Idealny wzmacniacz operacyjny
V+ = V−, Iin = 0

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Zadania do ćwiczenia

1.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAR4​4 ΩB

Wyznacz prąd IR1 dostarczany przez źródło, płynący przez R1.

V1 = 6 VR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 ΩR4 = 4 Ω
IR1 = A
2.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 25 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩIR2​AR4​10 ΩBR6​30 Ω

Wyznacz prąd IR2 płynący przez R2.

V1 = 36 VR1 = 25 ΩR2 = 2 ΩR3 = 4 ΩR4 = 10 ΩR5 = 4 ΩR6 = 30 Ω
IR2 = A
3.Metoda potencjałów węzłowychŚredni
−+Vs​ = 12 VIx​Is​3 AAR1​3 ΩR2​5 ΩB

Źródło napięcia Vₛ między A i B ma zacisk + po stronie B, więc VB − VA = Vₛ. Użyj metody potencjałów węzłowych z superwęzłem, aby wyznaczyć prąd Ix przez źródło napięcia, od A do B zgodnie ze strzałką.

Is = 3 AVs = 12 VR1 = 3 ΩR2 = 5 Ω
Ix = A
4.Metoda potencjałów węzłowychTrudny
R1​ = 12 Ω+−Vs​ = 10 V+−V1​30 VR2​6 ΩAR3​5 ΩBIs​5 A

Źródło napięcia Vₛ między A i B ma zacisk + po stronie A, więc VA − VB = Vₛ. Użyj metody potencjałów węzłowych z superwęzłem, aby wyznaczyć potencjał węzła VA (mierzony względem masy).

V1 = 30 VIs = 5 AVs = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 6 ΩR3 = 5 Ω
VA = V
5.Metoda prądów oczkowychŚredni
R1​ = 12 ΩIR1​R2​ = 3 Ω+−V1​15 VR3​15 ΩA+−V2​30 VI1​I2​

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd IR1 płynący przez R1 w kierunku strzałki.

V1 = 15 VV2 = 30 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 Ω
IR1 = A
6.Metoda prądów oczkowychTrudny
R1​ = 8 ΩR2​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​30 VR4​15 ΩAR5​25 ΩIR5​B+−V2​36 VI1​I2​I3​

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd IR5 płynący przez R5 w kierunku strzałki.

V1 = 30 VV2 = 36 VR1 = 8 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 15 ΩR5 = 25 Ω
IR5 = A
7.SuperpozycjaŚredni
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAR4​8 ΩBIs​5 A

Użyj metody superpozycji, aby wyznaczyć prąd IR1 płynący przez R1 w kierunku strzałki.

V1 = 10 VIs = 5 AR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
8.SuperpozycjaTrudny
obwód liniowyV1​V2​Is​IRL​

Liniowy obwód rezystancyjny zawiera trzy niezależne źródła: V1, V2 i Is. Prąd I przez obciążenie zmierzono trzy razy. Przy wszystkich źródłach o wartościach normalnych I = 25,5 mA. Po podwojeniu V1 przy niezmienionych pozostałych dwóch I = 36 mA. Po odwróceniu kierunku Is przy niezmienionych pozostałych dwóch I = 15,5 mA. Wyznacz prąd obciążenia I, gdy V2 jest wyłączone, a V1 i Is mają wartości normalne.

wartości normalne: I = 25,5 mA2·V1: I = 36 mA−Is: I = 15,5 mA
I = mA
9.Thévenin i NortonŚredni
R1​ = 4 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAab

Wyznacz rezystancję Thévenina Rth widzianą z zacisków a–b.

V1 = 24 VR1 = 4 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 Ω
Rth = Ω
10.Thévenin i NortonTrudny
R1​ = 6 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAIs​6 ABRL​10 ΩIL​

Między a–b podłączono obciążenie RL = 10 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia IL.

V1 = 15 VIs = 6 AR1 = 6 ΩR2 = 6 ΩR3 = 5 ΩRL = 10 Ω
IL = A
11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 4,7 kΩVin​

Dobierz rezystor sprzężenia zwrotnego Rf, który da temu wzmacniaczowi nieodwracającemu wzmocnienie napięciowe 20.

R1 = 4,7 kΩAv = 20
Rf = kΩ
12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny
−+Vout​Rf​ = 47 kΩV1​ = 0,6 VR1​ = 22 kΩV2​ = −0,7 VR2​ = 100 kΩ

Wzmacniacz sumujący korzysta z idealnego wzmacniacza operacyjnego zasilanego napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe Vout.

V1 = 0,6 VV2 = −0,7 VR1 = 22 kΩR2 = 100 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
13.Stany nieustalone RC i RLŚredni
+−Vs​24 Vt = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 3,3 kΩC47 µF+−vC​

Źródło Vₛ ładuje kondensator przez R₁, a R₂ jest połączony równolegle z C. Kondensator jest rozładowany, gdy łącznik zamyka się w t = 0. Wyznacz napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 40 ms.

Vs = 24 VR1 = 1 kΩR2 = 3,3 kΩC = 47 µFt = 40 ms
vC = V
14.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​10 VR1​ = 47 ΩR2​ = 5 Ωotwiera się w t = 0L47 mHi(t)

Łącznik równoległy do R2 był długo zamknięty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz prąd cewki i w chwili t = 1 ms.

Vs = 10 VR1 = 47 ΩR2 = 5 ΩL = 47 mHt = 1 ms
i = A

3Roztwory

1.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR1 = 0,342 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAR4​4 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 3 + 4 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 4·7/(4+7) = 2,545 Ω
Req = R1 + 2,545 = 15 + 2,545 = 17,55 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 6/17,55 = 0,342 A

Odpowiedź

IR1 = 0,342 A
2.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR2 = 1,152 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 25 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAR4​10 ΩBR6​30 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 4 + 30 = 34 Ω
R4 ∥ 34 = 7,727 Ω
R3 + 7,727 = 11,73 Ω
R2 ∥ 11,73 = 1,709 Ω
Req = R1 + 1,709 = 25 + 1,709 = 26,71 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 36/26,71 = 1,348 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 1,348·25 = 2,303 V
IR2 = VA/R2 = 2,303/2 = 1,152 A

Odpowiedź

IR2 = 1,152 A
3.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: Ix = 2,625 A

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

Utwórz superwęzeł

Przez źródło napięcia między A i B płynie nieznany prąd, więc nie można zapisać PPK osobno w A ani w B. Obejmij A, B i źródło jednym superwęzłem: prąd do niego wpływający jest równy prądowi wypływającemu.

VB = VA + Vs = VA + 12
VA/R1 + VB/R2 = Is

Rozwiąż

VA/3 + (VA + 12)/5 = 3
VA = (3 − 12/5)/(1/3 + 1/5) = 1,125 V
VB = 1,125 + 12 = 13,13 V

Prąd przez źródło napięcia

Wszystko, co przepływa przez źródło od A do B, opuszcza węzeł B przez R₂.

Ix = VB/R2 = 13,13/5 = 2,625 A

Odpowiedź

Ix = 2,625 A

Wynik ujemny oznacza, że rzeczywisty prąd płynie przeciwnie do strzałki.

4.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: VA = 21,11 V

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

Utwórz superwęzeł

Przez źródło napięcia między A i B płynie nieznany prąd, więc nie można zapisać PPK osobno w A ani w B. Obejmij A, B i źródło jednym superwęzłem: prąd do niego wpływający jest równy prądowi wypływającemu.

VB = VA − 10
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is

Rozwiąż

(VA − 30)/12 + VA/6 + (VA − 10)/5 = 5
VA·(1/12 + 1/6 + 1/5) = 5 + 30/12 + 10/5 = 9,5
VA = 9,5/0,45 = 21,11 V
VB = 11,11 V

Odpowiedź

VA = 21,11 V
5.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: IR1 = −0,6897 A

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

R1​ = 12 ΩR2​ = 3 Ω+−V1​15 VR3​15 ΩA+−V2​30 VI1​I2​

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I1, I2. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
12·I1 + 15(I1 − I2) = 15
27·I1 − 15·I2 = 15

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
3·I2 + 15(I2 − I1) = (−30)
−15·I1 + 18·I2 = −30

Rozwiąż

Δ = (27)(18) − (−15)(−15) = 261
I1 = Δ1/Δ = −180/261 = −0,6897 A
I2 = Δ2/Δ = −585/261 = −2,241 A

Odpowiedź

IR1 = I1 = −0,6897 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

6.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: IR5 = 0,96 A

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

R1​ = 8 ΩR2​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​30 VR4​15 ΩAR5​25 ΩB+−V2​36 VI1​I2​I3​

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I1, I2, I3. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
8·I1 + 15(I1 − I2) = 30
23·I1 − 15·I2 = 30

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
3·I2 + 15(I2 − I1) + 25(I2 − I3) = 0
−15·I1 + 43·I2 − 25·I3 = 0

NPK w oczku 3

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
8·I3 + 25(I3 − I2) = (−36)
−25·I2 + 33·I3 = −36

Rozwiąż

Δ = wyznacznik macierzy współczynników = 10837
I1 = Δ1/Δ = 10320/10837 = 0,9523 A
I2 = Δ2/Δ = −5850/10837 = −0,5398 A
I3 = Δ3/Δ = −16254/10837 = −1,5 A

Odpowiedź

IR5 = I2 − I3 = 0,96 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

7.Superpozycja

Odpowiedź: IR1 = −0,5634 A

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

R1​ = 6 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAR4​8 ΩBROZWARCIE

Przypadek 1 · działa tylko V1

Iₛ staje się rozwarciem, więc R₃ i R₄ tworzą jedną gałąź szeregową od A do masy, równolegle z R₂.

R3+R4 = 6+8 = 14 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 10·14/(10+14) = 5,833 Ω
VA = 10·5,833/(6+5,833) = 4,93 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 4,93·8/14 = 2,817 V
IR1′ = (V1 − VA)/R1 = (10 − 4,93)/6 = 0,8451 A
R1​ = 6 ΩR3​ = 6 ΩZWARCIER2​10 ΩAR4​8 ΩBIs​5 A

Przypadek 2 · działa tylko Is

V₁ staje się zwarciem, więc R₁ jest równolegle z R₂. Iₛ rozdziela się w B między R₄ a drogę przez R₃.

R1 ∥ R2 = 6·10/(6+10) = 3,75 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 8 ∥ 9,75 = 4,394 Ω
VB = Is·Req = 5·4,394 = 21,97 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 21,97·3,75/9,75 = 8,451 V
IR1″ = (V1 − VA)/R1 = (0 − 8,451)/6 = −1,408 A

Dodaj składowe

IR1 = IR1′ + IR1″
IR1 = 0,8451 + (−1,408) = −0,5634 A

Wynik ujemny oznacza, że w rzeczywistości prąd płynie przeciwnie do strzałki.

8.Superpozycja

Odpowiedź: I = 15,5 mA

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

Zapisz pomiary za pomocą wkładów

Każdy wkład jest proporcjonalny do własnego źródła.

I₁ + I₂ + I₃ = 25,5
2·I₁ + I₂ + I₃ = 36
I₁ + I₂ − I₃ = 15,5

Wyznacz wkłady

I₁ = 36 − 25,5 = 10,5 mA
I₃ = (25,5 − 15,5)/2 = 5 mA
I₂ = 25,5 − 10,5 − 5 = 10 mA

Wyłącz V₂

I = I₁ + I₃ = 10,5 + 5 = 15,5 mA

Odpowiedź

I = 15,5 mA
9.Thévenin i Norton

Odpowiedź: Rth = 9,714 Ω

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 4 ΩR3​ = 8 ΩZWARCIER2​3 ΩAabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R1 ∥ R2 = 4·3/(4+3) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 8 = 9,714 Ω
10.Thévenin i Norton

Odpowiedź: IL = −2,25 A

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 6 ΩR3​ = 5 ΩZWARCIER2​6 ΩAROZWARCIEBabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R1 ∥ R2 = 6·6/(6+6) = 3 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3 + 5 = 8 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,5 + (−6)·3 = −10,5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −10,5 + (−6)·5 = −40,5 V
Rth​ = 8 Ω−+Vth​40,5 VRL​10 ΩIL​

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

IL = Vth/(Rth + RL) = −40,5/(8 + 10) = −2,25 A
11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: Rf = 89,3 kΩ

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Wzmocnienie wzmacniacza nieodwracającego

V₋ = V₊ = Vin, a prąd przez R₁ płynie też przez Rf, więc Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (20 − 1)·4,7 = 89,3 kΩ

Odpowiedź

Rf = 89,3 kΩ
12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: Vout = −0,9528 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Prądy wejściowe

V₋ = 0, więc na każdym rezystorze wejściowym jest całe jego napięcie wejściowe.

I1 = V1/R1 = 0,6/22 = 0,02727 mA
I2 = V2/R2 = −0,7/100 = −0,007 mA
If = I1 + I2 = 0,02027 mA

Napięcie wyjściowe

Vout = −Rf·If = −47·0,02027 = −0,9528 V

Odpowiedź

Vout = −0,9528 V
13.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: vC = 12,34 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Obwód zastępczy Thevenina widziany przez kondensator

Zewrzyj źródło, aby wyznaczyć Rth; rozewrzyj kondensator, aby wyznaczyć napięcie, do którego się naładuje.

Rth = R1 ∥ R2 = 1·3,3/(1 + 3,3) = 0,7674 kΩ
vC(∞) = 24·3,3/(1 + 3,3) = 18,42 V

Stała czasowa

τ = Rth·C = 0,7674·47 = 36,07 ms

Krzywa ładowania

vC(t) = 18,42·(1 − e−40/36,07) = 12,34 V

Odpowiedź

vC = 12,34 V
14.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,1991 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 zamknięty łącznik bocznikuje R₂; potem w obwodzie są zarówno R₁, jak i R₂.

i(0) = 10/47 = 0,2128 A
i(∞) = 10/(47 + 5) = 0,1923 A
τ = L/R = 47/52 = 0,9038 ms
i(t) = 0,1923 + (0,2128 − 0,1923)·e−t/τ

Prąd w danej chwili

i(1) = 0,1923 + (0,02046)·e−1/0,9038 = 0,1991 A

Odpowiedź

i = 0,1991 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1