Teoria obwodów 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Metoda potencjałów węzłowych

Prądowe prawo Kirchhoffa
ΣIin = ΣIout
Prąd gałęzi
I = (Va − Vb)/R
Węzeł odniesienia
Vground = 0

Metoda

  1. Wybierz węzeł odniesienia (masę) i oznacz potencjały pozostałych węzłów.
  2. Napisz prądowe prawo Kirchhoffa dla każdego nieznanego węzła: prądy wypływające przez każdą gałąź są równe prądom wpływającym.
  3. Wyraź każdy prąd gałęziowy jako (Va − Vb)/R.
  4. Rozwiąż układ równań, a potem wyznacz potrzebne prądy.

Metoda prądów oczkowych

Napięciowe prawo Kirchhoffa
ΣV = 0 w każdym oczku
Rezystor wspólny
prąd = I1 − I2
Źródło prądu w oczku
wyznacza prąd tego oczka

Metoda

  1. Narysuj prąd płynący zgodnie z ruchem wskazówek zegara w każdym oczku (okienku) obwodu.
  2. Zastosuj napięciowe prawo Kirchhoffa w każdym oczku: suma spadków napięć jest równa zeru.
  3. W rezystorze wspólnym dla dwóch oczek prąd jest różnicą dwóch prądów oczkowych.
  4. Rozwiąż równania; wynik ujemny oznacza, że prąd płynie w przeciwną stronę.

Superpozycja

Superpozycja
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Wyłączone źródło napięcia
zwarcie (0 V)
Wyłączone źródło prądu
rozwarcie (0 A)
Dzielnik napięcia
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Dzielnik prądu
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Metoda

  1. Policz niezależne źródła. Dla każdego źródła rozwiążesz jeden prostszy obwód.
  2. Zostaw jedno źródło, a pozostałe wyłącz: źródło napięciowe staje się zwarciem (przewodem), źródło prądowe staje się rozwarciem (przerwą).
  3. Rozwiąż prostszy obwód dla potrzebnego napięcia lub prądu, pilnując jego kierunku.
  4. Powtórz dla każdego źródła, a potem dodaj składowe z ich znakami.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Metoda

  1. Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
  2. Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
  3. Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
  4. Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
  5. Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Wzmacniacz odwracający
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Wzmacniacz nieodwracający
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Wzmacniacz sumujący
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Idealny wzmacniacz operacyjny
V+ = V−, Iin = 0

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Zadania do ćwiczenia

1.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​3 ΩB

Wyznacz prąd IR1 dostarczany przez źródło, płynący przez R1.

V1 = 15 VR1 = 3 ΩR2 = 8 ΩR3 = 4 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
2.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 20 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​30 ΩIR2​AR4​6 ΩBR6​5 Ω

Wyznacz prąd IR2 płynący przez R2.

V1 = 18 VR1 = 20 ΩR2 = 30 ΩR3 = 25 ΩR4 = 6 ΩR5 = 15 ΩR6 = 5 Ω
IR2 = A
3.Metoda potencjałów węzłowychŚredni
R1​3 Ω−+V1​18 VR2​2 Ω+−V2​30 VI2​R3​12 Ω+−V3​10 VA

Między węzłem A a masą są włączone trzy gałęzie, jak na rysunku. Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć prąd I2 w gałęzi 2, płynący w górę do węzła A zgodnie ze strzałką.

V1 = 18 VR1 = 3 ΩV2 = 30 VR2 = 2 ΩV3 = 10 VR3 = 12 Ω
I2 = A
4.Metoda potencjałów węzłowychTrudny
R1​ = 3 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​2 ΩAR4​30 ΩBIs​?

Źródło prądu jest regulowane, aż potencjał węzła A osiągnie VA = 7,5 V. Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć prąd źródła Is (kierunek jak na rysunku).

V1 = 5 VR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 30 ΩVA = 7,5 V
Is = A
5.Metoda prądów oczkowychŚredni
R1​ = 15 ΩIR1​R2​ = 15 Ω+−V1​12 VR3​8 ΩA+−V2​30 VI1​I2​

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd IR1 płynący przez R1 w kierunku strzałki.

V1 = 12 VV2 = 30 VR1 = 15 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 Ω
IR1 = A
6.Metoda prądów oczkowychTrudny
R1​ = 5 ΩIR1​R2​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR4​15 ΩAR5​8 ΩB+−V2​5 VI1​I2​I3​

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd IR1 płynący przez R1 w kierunku strzałki.

V1 = 30 VV2 = 5 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 ΩR4 = 15 ΩR5 = 8 Ω
IR1 = A
7.SuperpozycjaŚredni
R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩIR2​AR4​5 ΩBIs​5 A

Użyj metody superpozycji, aby wyznaczyć prąd IR2 płynący przez R2 w kierunku strzałki.

V1 = 12 VIs = 5 AR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
8.SuperpozycjaTrudny
obwód liniowyV1​V2​Is​IRL​

Liniowy obwód rezystancyjny zawiera trzy niezależne źródła: V1, V2 i Is. Prąd I przez obciążenie zmierzono trzy razy. Przy wszystkich źródłach o wartościach normalnych I = 20 mA. Po podwojeniu V1 przy niezmienionych pozostałych dwóch I = 28,5 mA. Po odwróceniu kierunku Is przy niezmienionych pozostałych dwóch I = 8 mA. Wyznacz prąd obciążenia I, gdy V2 jest wyłączone, a V1 i Is mają wartości normalne.

wartości normalne: I = 20 mA2·V1: I = 28,5 mA−Is: I = 8 mA
I = mA
9.Thévenin i NortonŚredni
R1​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAab

Wyznacz napięcie Thévenina Vth widziane z zacisków a–b.

V1 = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
10.Thévenin i NortonTrudny
R1​ = 10 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAIs​3 ABRL​5 ΩIL​

Między a–b podłączono obciążenie RL = 5 Ω. Użyj układu zastępczego Thévenina, aby wyznaczyć moc PL dostarczaną do obciążenia.

V1 = 12 VIs = 3 AR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 4 ΩRL = 5 Ω
PL = W
11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni
−+Vout​Rf​ = 47 kΩR1​ = 10 kΩVin​ = −1,9 V

Wzmacniacz operacyjny jest idealny i zasilany napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe Vout.

Vin = −1,9 VR1 = 10 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny
−+Vout​Rf​ = 47 kΩV1​ = −1,3 VR1​ = 100 kΩV2​ = 0,6 VR2​ = 10 kΩ

Wzmacniacz sumujący korzysta z idealnego wzmacniacza operacyjnego zasilanego napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe Vout.

V1 = −1,3 VV2 = 0,6 VR1 = 100 kΩR2 = 10 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
13.Stany nieustalone RC i RLŚredni
+−Vs​6 Vt = 0R = 50 ΩL10 mHi(t)

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz napięcie vL na cewce w chwili t = 1 ms.

Vs = 6 VR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms
vL = V
14.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​9 Vt = 0R = 1 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 8 V

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 8 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie vC osiągnie 8,3 V? Wyznacz t.

Vs = 9 VR = 1 kΩC = 47 µFvC(0) = 8 V
t = ms

3Roztwory

1.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR1 = 2,228 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 3 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​3 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 4 + 3 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 8·7/(8+7) = 3,733 Ω
Req = R1 + 3,733 = 3 + 3,733 = 6,733 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 15/6,733 = 2,228 A

Odpowiedź

IR1 = 2,228 A
2.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR2 = 0,2562 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 20 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​30 ΩAR4​6 ΩBR6​5 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 15 + 5 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 4,615 Ω
R3 + 4,615 = 29,62 Ω
R2 ∥ 29,62 = 14,9 Ω
Req = R1 + 14,9 = 20 + 14,9 = 34,9 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 18/34,9 = 0,5157 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 0,5157·20 = 7,686 V
IR2 = VA/R2 = 7,686/30 = 0,2562 A

Odpowiedź

IR2 = 0,2562 A
3.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: I2 = 9,636 A

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

PPK w węźle A

Przyjmij dolny przewód jako masę. Każda gałąź odprowadza z A prąd (VA − Vk)/Rk, gdzie Vk to napięcie jej źródła (zero dla samego rezystora). Prądy wypływające z A sumują się do zera.

(VA − (−18))/3 + (VA − 30)/2 + (VA − 10)/12 = 0

Wyznacz VA

VA = ((−18)/3 + 30/2 + 10/12) / (1/3 + 1/2 + 1/12) = 9,833/0,9167 = 10,73 V

Prąd gałęzi

Strzałka wskazuje w górę wzdłuż gałęzi, do węzła A.

I2 = (30 − VA)/R2 = (30 − 10,73)/2 = 9,636 A

Odpowiedź

I2 = 9,636 A

Wynik ujemny oznacza, że rzeczywisty prąd płynie przeciwnie do strzałki.

4.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: Is = 5,292 A

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

PPK w węźle A

VA jest znane, więc to równanie daje VB.

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(7,5 − 5)/3 + 7,5/2 = (VB − 7,5)/3
4,583 = (VB − 7,5)/3 → VB = 21,25 V

PPK w węźle B

Prądy wypływające z B przez rezystory są równe prądowi wpychanemu do B przez źródła.

Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (21,25 − 7,5)/3 + 21,25/30 = 5,292 A

Odpowiedź

Is = 5,292 A
5.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: IR1 = 0,07742 A

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

R1​ = 15 ΩR2​ = 15 Ω+−V1​12 VR3​8 ΩA+−V2​30 VI1​I2​

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I1, I2. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
15·I1 + 8(I1 − I2) = 12
23·I1 − 8·I2 = 12

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
15·I2 + 8(I2 − I1) = (−30)
−8·I1 + 23·I2 = −30

Rozwiąż

Δ = (23)(23) − (−8)(−8) = 465
I1 = Δ1/Δ = 36/465 = 0,07742 A
I2 = Δ2/Δ = −594/465 = −1,277 A

Odpowiedź

IR1 = I1 = 0,07742 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

6.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: IR1 = 2,329 A

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

R1​ = 5 ΩR2​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR4​15 ΩAR5​8 ΩB+−V2​5 VI1​I2​I3​

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I1, I2, I3. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
5·I1 + 15(I1 − I2) = 30
20·I1 − 15·I2 = 30

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
10·I2 + 15(I2 − I1) + 8(I2 − I3) = 0
−15·I1 + 33·I2 − 8·I3 = 0

NPK w oczku 3

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
12·I3 + 8(I3 − I2) = (−5)
−8·I2 + 20·I3 = −5

Rozwiąż

Δ = wyznacznik macierzy współczynników = 7420
I1 = Δ1/Δ = 17280/7420 = 2,329 A
I2 = Δ2/Δ = 8200/7420 = 1,105 A
I3 = Δ3/Δ = 1425/7420 = 0,192 A

Odpowiedź

IR1 = I1 = 2,329 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

7.Superpozycja

Odpowiedź: IR2 = 3,148 A

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAR4​5 ΩBROZWARCIE

Przypadek 1 · działa tylko V1

Iₛ staje się rozwarciem, więc R₃ i R₄ tworzą jedną gałąź szeregową od A do masy, równolegle z R₂.

R3+R4 = 10+5 = 15 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 2·15/(2+15) = 1,765 Ω
VA = 12·1,765/(3+1,765) = 4,444 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 4,444·5/15 = 1,481 V
IR2′ = (VA − 0)/R2 = (4,444 − 0)/2 = 2,222 A
R1​ = 3 ΩR3​ = 10 ΩZWARCIER2​2 ΩAR4​5 ΩBIs​5 A

Przypadek 2 · działa tylko Is

V₁ staje się zwarciem, więc R₁ jest równolegle z R₂. Iₛ rozdziela się w B między R₄ a drogę przez R₃.

R1 ∥ R2 = 3·2/(3+2) = 1,2 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 5 ∥ 11,2 = 3,457 Ω
VB = Is·Req = 5·3,457 = 17,28 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 17,28·1,2/11,2 = 1,852 V
IR2″ = (VA − 0)/R2 = (1,852 − 0)/2 = 0,9259 A

Dodaj składowe

IR2 = IR2′ + IR2″
IR2 = 2,222 + 0,9259 = 3,148 A

Wynik ujemny oznacza, że w rzeczywistości prąd płynie przeciwnie do strzałki.

8.Superpozycja

Odpowiedź: I = 14,5 mA

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

Zapisz pomiary za pomocą wkładów

Każdy wkład jest proporcjonalny do własnego źródła.

I₁ + I₂ + I₃ = 20
2·I₁ + I₂ + I₃ = 28,5
I₁ + I₂ − I₃ = 8

Wyznacz wkłady

I₁ = 28,5 − 20 = 8,5 mA
I₃ = (20 − 8)/2 = 6 mA
I₂ = 20 − 8,5 − 6 = 5,5 mA

Wyłącz V₂

I = I₁ + I₃ = 8,5 + 6 = 14,5 mA

Odpowiedź

I = 14,5 mA
9.Thévenin i Norton

Odpowiedź: Vth = 4,174 V

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 15 ΩR3​ = 3 ΩZWARCIER2​8 ΩAabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R1 ∥ R2 = 15·8/(15+8) = 5,217 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,217 + 3 = 8,217 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAab+−Vth​

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·8/(15+8) = 4,174 V
10.Thévenin i Norton

Odpowiedź: PL = 18,4 W

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 10 ΩR3​ = 4 ΩZWARCIER2​3 ΩAROZWARCIEBabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R1 ∥ R2 = 10·3/(10+3) = 2,308 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,308 + 4 = 6,308 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,769 + 3·2,308 = 9,692 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 9,692 + 3·4 = 21,69 V
Rth​ = 6,308 Ω+−Vth​21,69 VRL​5 ΩIL​

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

IL = Vth/(Rth + RL) = 21,69/(6,308 + 5) = 1,918 A
PL = IL²·RL = 1,918²·5 = 18,4 W
11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: Vout = −10,83 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Wejście odwracające podąża za wejściem

V₋ = V₊ = −1,9 V
I = V₋/R1 = −1,9/10 = −0,19 mA

Napięcie wyjściowe

Prąd przez R₁ płynie też przez Rf.

Vout = V₋ + I·Rf = −1,9 + (−0,19)·47 = −10,83 V

Odpowiedź

Vout = −10,83 V
12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: Vout = −2,209 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Prądy wejściowe

V₋ = 0, więc na każdym rezystorze wejściowym jest całe jego napięcie wejściowe.

I1 = V1/R1 = −1,3/100 = −0,013 mA
I2 = V2/R2 = 0,6/10 = 0,06 mA
If = I1 + I2 = 0,047 mA

Napięcie wyjściowe

Vout = −Rf·If = −47·0,047 = −2,209 V

Odpowiedź

Vout = −2,209 V
13.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: vL = 0,04043 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0,2 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0,12 A

Napięcie na cewce

W t = 0 całe napięcie zasilania jest na cewce; potem maleje do zera.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 6·e−1/0,2 = 0,04043 V

Odpowiedź

vL = 0,04043 V
14.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 16,76 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 1 kΩ · 47 µF = 47 ms
vC(t) = 9 + (8 − 9)·e−t/τ

Wyznacz czas

8,3 = 9 + (−1)·e−t/τ → e−t/τ = (8,3 − 9)/(8 − 9) = 0,7
t = τ·ln((8 − 9)/(8,3 − 9)) = 47·ln(1,429) = 16,76 ms

Odpowiedź

t = 16,76 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1