Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Postać algebraiczna: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Moduł i argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Postać biegunowa i wykładnicza: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dzielenie: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Iloczyn i iloraz: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Wzór de Moivre’a: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Pierwiastki n-tego stopnia: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Trójmian kwadratowy z p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metoda

Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Częstotliwość drgań własnych: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energia: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy: I_max = V₀√(C/L)
Dobroć: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Częstotliwości połowy mocy: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy: e^−Rt/(2L)

Metoda

Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

2Zadania do ćwiczenia

1.Liczby zespoloneŚredni

Znajdź argument θ liczby z = −8 + j w stopniach, jako wartość główną między −180° a 180°.

z = −8 + j

θ = °

2.Liczby zespoloneTrudny

Jednym z pierwiastków równania z³ − 9z² + 36z − 54 = 0 jest z₁ = 3 + j3. Współczynniki są rzeczywiste. Znajdź pierwiastek rzeczywisty r.

z₁ = 3 + j3

r =

3.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

I = A

4.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 10 µF

I = A

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Do jednofazowego zasilania 230 V podłączono równolegle dwa odbiorniki: odbiornik 12 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) oraz odbiornik 30 kW przy współczynniku mocy 0,95 (indukcyjnym). Wyznacz wypadkowy współczynnik mocy cos φ widziany przez zasilanie.

V = 230 VP₁ = 12 kW, pf₁ = 0,65 indukcyjnyP₂ = 30 kW, pf₂ = 0,95 indukcyjny

cos φ =

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Odbiornik jednofazowy pobiera 16 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) z zasilania 230 V, 60 Hz. Równolegle do odbiornika podłączono kondensator 150 µF. Wyznacz nowy prąd linii I.

P = 16 kWpf₁ = 0,75V = 230 Vf = 60 HzC = 150 µF

I = A

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni

W idealnym obwodzie LC z L = 22 mH i C = 220 pF kondensator jest w pełni naładowany w chwili t = 0. Ile czasu mija, zanim cała energia znajdzie się w cewce? Podaj t w µs.

L = 22 mHC = 220 pF

t = µs

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny

Zaprojektuj szeregowy filtr RLC o całkowitej rezystancji 20 Ω, częstotliwości rezonansowej 100 kHz i szerokości pasma 5 kHz. Wyznacz pojemność C w nF.

R = 20 Ωf₀ = 100 kHzBW = 5 kHz

C = nF

9.Moc w układach trójfazowychŚredni

Symetryczny odbiornik połączony w gwiazdę o impedancji 4 + j3 Ω na fazę jest przyłączony do symetrycznej sieci trójfazowej o napięciu przewodowym 415 V. Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

V_L = 415 VZ = 4 + j3 Ω na fazę

P = kW

10.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 50 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z sieci 415 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,98 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w trójkąt. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 50 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W zgromadzoną w cewce w chwili t = 5 ms, w mJ.

V_s = 12 VR = 10 ΩL = 47 mHt = 5 ms

W = mJ

12.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik równoległy do R₂ był długo otwarty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się zamyka i zwiera R₂. Wyznacz prąd cewki i w chwili t = 5 ms.

V_s = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

13.Thévenin i NortonŚredni

Wyznacz rezystancję Thévenina R_th widzianą z zacisków a–b.

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 Ω

R_th = Ω

14.Thévenin i NortonTrudny

Między a–b podłączono obciążenie R_L = 8 Ω. Użyj układu zastępczego Thévenina, aby wyznaczyć moc P_L dostarczaną do obciążenia.

V₁ = 6 VI_s = 1,5 AR₁ = 30 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR_L = 8 Ω

P_L = W

15.Wykresy Bodego i zapasyŚredni

Filtr górnoprzepustowy RC pokazany na rysunku ma R = 10 kΩ, C = 100 nF. Podano sinusoidalne wejście 320 Hz. Znajdź przesunięcie fazowe φ v_out względem v_in, w stopniach.

R = 10 kΩC = 100 nFf = 320 Hz

φ = °

16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny

Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = 92/(s(s + 3)(s + 6)). Znajdź zapas wzmocnienia GM w dB.

L(s) = 92/(s(s + 3)(s + 6))

GM = dB

3Roztwory

1.Liczby zespolone

Odpowiedź: θ = 172,9 °

Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.

Ćwiartka

a = −8, b = 1 → II

Kąt odniesienia

α = atan(1/8) = 7,125°

Argument

θ = 180° − α = 172,9°

Odpowiedź

θ = 172,9°

W postaci biegunowej z = 8,062∠172,9°.

2.Liczby zespolone

Odpowiedź: r = 3

Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R^1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.

Para sprzężona

z₂ = 3 − j3

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·3·z + (3² + 3²) = z² − 6z + 18

Wydziel czynnik kwadratowy

z³ − 9z² + 36z − 54 = (z² − 6z + 18)(z − 3)

Pierwiastek rzeczywisty

r = 3

Odpowiedź

r = 3

Sprawdź sumą pierwiastków: z₁ + z₂ + r = 6 + 3 = 9 = −(−9).

3.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,3555 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−336,6)²) = 337,5 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 120/337,5 = 0,3555 A

Odpowiedź

I = 0,3555 A

4.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,06805 A

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (171,7)²) = 176,3 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 12/176,3 = 0,06805 A

Odpowiedź

I = 0,06805 A

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: cos φ = 0,8692

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna każdego odbiornika

Odbiornik indukcyjny pobiera moc bierną (Q > 0); odbiornik pojemnościowy ją oddaje (Q < 0).

Q₁ = 12·tan(arccos 0,65) = 14,03 kvar

Q₂ = 30·tan(arccos 0,95) = 9,861 kvar

Sumy

P = 12 + 30 = 42 kW

Q = 14,03 + 9,861 = 23,89 kvar

S = √(42² + 23,89²) = 48,32 kVA

Wypadkowy współczynnik mocy

cos φ = P/S = 42/48,32 = 0,8692 indukcyjny

Odpowiedź

cos φ = 0,8692

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I = 84,71 A

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q₁ = 16·tan(arccos 0,75) = 14,11 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·60·150·10⁻⁶ = 2991 var = 2,991 kvar

Q₂ = 14,11 − 2,991 = 11,12 kvar

Nowa moc pozorna

S₂ = √(16² + 11,12²) = 19,48 kVA

Nowy prąd linii

I = S₂/V = 19484/230 = 84,71 A

Odpowiedź

I = 84,71 A

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: t = 3,456 µs

Rezonans LC: naładowany kondensator połączony z cewką wymusza prąd, który ładuje go w przeciwną stronę: energia przepływa między polem elektrycznym C (½Cv²) a polem magnetycznym L (½Li²) z częstotliwością drgań własnych f₀ = 1/(2π√(LC)). Bez rezystancji całkowita energia ½CV₀² jest stała, więc prąd szczytowy wynosi I_max = V₀√(C/L). Jeden okres to T = 1/f₀; energia przechodzi z C do L w ciągu jego ćwierci.

Okres

T = 2π√(0,022·2,2 × 10⁻¹⁰) = 13,82 µs

Ćwierć okresu

t = T/4 = 3,456 µs

Odpowiedź

t = 3,456 µs

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: C = 3,979 nF

Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f₁ i f₂ (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f₀ = √(f₁f₂), a f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e^−Rt/(2L).

Indukcyjność z szerokości pasma

L = R/(2π·BW) = 20/(2π·5000) = 0,0006366 H

Pojemność z częstotliwości rezonansowej

C = 1/((2π·100000)²·0,0006366) = 3,979 × 10⁻⁹ F = 3,979 nF

Odpowiedź

C = 3,979 nF

Q = f₀/BW = 20.

9.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 27,56 kW

Napięcie fazowe

V_ph = 415/√3 = 239,6 V

Prąd fazowy

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω

I_ph = 239,6/5 = 47,92 A

Całkowita moc czynna

Moc czynną pobiera tylko rezystancyjna część każdej impedancji.

P = 3·I_ph²·R = 3·47,92²·4 = 27,56 kW

Odpowiedź

P = 27,56 kW

Sprawdzenie: cos φ = R/|Z| = 0,8, a √3·V_L·I_L·cos φ daje tę samą moc.

10.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 297,6 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,65) = 50·1,169 = 58,46 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,98) = 50·0,2031 = 10,15 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 48,3 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w trójkąt każdy kondensator jest włączony między dwa przewody fazowe.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 16101/(314,2·415²) = 297,6 µF

Odpowiedź

C_ph = 297,6 µF

11.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W = 14,51 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 47 mH / 10 Ω = 4,7 ms

i(∞) = V_s/R = 12/10 = 1,2 A

Prąd w danej chwili

i(t) = 1,2·(1 − e^−5/4,7) = 0,7858 A

Zgromadzona energia

W = ½·L·i² = ½·47·0,7858² = 14,51 mJ

Odpowiedź

W = 14,51 mJ

12.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,6114 A

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 w obwodzie są oba rezystory; potem zamknięty łącznik bocznikuje R₂.

i(0) = 10/(15 + 5) = 0,5 A

i(∞) = 10/15 = 0,6667 A

τ = L/R = 68/15 = 4,533 ms

i(t) = 0,6667 + (0,5 − 0,6667)·e^−t/τ

Prąd w danej chwili

i(5) = 0,6667 + (−0,1667)·e^−5/4,533 = 0,6114 A

Odpowiedź

i = 0,6114 A

13.Thévenin i Norton

Odpowiedź: R_th = 24,62 Ω

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·6/(20+6) = 4,615 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,615 + 20 = 24,62 Ω

14.Thévenin i Norton

Odpowiedź: P_L = 4,178 W

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 30·4/(30+4) = 3,529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,529 + 3 = 6,529 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 0,7059 + 1,5·3,529 = 6 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 6 + 1,5·3 = 10,5 V

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 10,5/(6,529 + 8) = 0,7227 A

P_L = I_L²·R_L = 0,7227²·8 = 4,178 W

15.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: φ = 26,44 °

Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ω_c = 1/(RC) lub R/L oraz f_c = ω_c/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) i φ = −atan(ω/ω_c). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jω_c). Częstotliwość odcięcia fazy ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.

Częstotliwość graniczna

ω_c = 1/(RC) = 1/(10000·1 × 10⁻⁷) = 1000 rad/s

f_c = 159,2 Hz → f/f_c = 320/159,2 = 2,011

Faza

φ = 90° − atan(2,011) = 26,44°

Odpowiedź

φ = 26,44°

16.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: GM = 4,915 dB

Częstotliwość odcięcia fazy

(ω/3)·(ω/6) = 1 → ω₁₈₀ = √(3·6) = 4,243 rad/s

Moduł przy częstotliwości odcięcia fazy

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 9)·√(ω² + 36)) = K/(3·6·(3 + 6)) = K/162

Zapas wzmocnienia

GM = 20·log₁₀(162/92) = 4,915 dB

Odpowiedź

GM = 4,915 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Metoda

Impedancja i wskazy AC

Metoda

Moc AC i współczynnik mocy

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Metoda

Moc w układach trójfazowych

Stany nieustalone RC i RL

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Ćwiartka

Kąt odniesienia

Argument

Odpowiedź

Para sprzężona

Wydziel czynnik kwadratowy

Pierwiastek rzeczywisty

Odpowiedź

Reaktancje

Impedancja

Prąd

Odpowiedź

Reaktancje

Impedancja

Prąd

Odpowiedź

Moc bierna każdego odbiornika

Sumy

Wypadkowy współczynnik mocy

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Nowa moc pozorna

Nowy prąd linii

Odpowiedź

Okres

Ćwierć okresu

Odpowiedź

Indukcyjność z szerokości pasma

Pojemność z częstotliwości rezonansowej

Odpowiedź

Napięcie fazowe

Prąd fazowy

Całkowita moc czynna

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Moc bierna z kondensatorów

Pojemność na fazę

Odpowiedź

Stała czasowa i prąd końcowy

Prąd w danej chwili

Zgromadzona energia

Odpowiedź

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Prąd w danej chwili

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Częstotliwość graniczna

Faza

Odpowiedź

Częstotliwość odcięcia fazy

Moduł przy częstotliwości odcięcia fazy

Zapas wzmocnienia

Odpowiedź

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego