Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Postać algebraiczna: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Moduł i argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Postać biegunowa i wykładnicza: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dzielenie: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Iloczyn i iloraz: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Wzór de Moivre’a: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Pierwiastki n-tego stopnia: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Trójmian kwadratowy z p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metoda

Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Częstotliwość drgań własnych: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energia: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy: I_max = V₀√(C/L)
Dobroć: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Częstotliwości połowy mocy: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy: e^−Rt/(2L)

Metoda

Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

2Zadania do ćwiczenia

1.Liczby zespoloneŚredni

Liczba z = 1,5·e^j0,6 ma kąt w radianach. Znajdź jej część urojoną b.

r = 1,5θ = 0,6 rad

b =

2.Liczby zespoloneTrudny

Jednym z pierwiastków równania z³ + 2z² + 5z − 26 = 0 jest z₁ = −2 + j3. Współczynniki są rzeczywiste. Znajdź pierwiastek rzeczywisty r.

z₁ = −2 + j3

r =

3.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC z L = 50 mH ma być w rezonansie przy 60 Hz. Wyznacz potrzebną pojemność C.

f₀ = 60 HzL = 50 mH

C = µF

4.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 15 Ω, L = 50 mH i C = 0,01 µF. Wyznacz jego pasmo przenoszenia B (szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy) w Hz.

R = 15 ΩL = 50 mHC = 0,01 µF

B = Hz

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Odbiornik o impedancji Z = 16 + j12 Ω jest podłączony do jednofazowego zasilania 240 V (skuteczne). Wyznacz pobieraną przez niego moc czynną P.

V = 240 VZ = 16 + j12 Ω

P = W

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Odbiornik jednofazowy pobiera 15 kW przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym) z zasilania 240 V, 50 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,9. Wyznacz potrzebną pojemność C.

P = 15 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 50 Hz

C = µF

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni

Szeregowy obwód RLC ma R = 1 Ω, L = 47 µH i C = 22 nF. Wyznacz jego szerokość pasma BW w kHz.

R = 1 ΩL = 47 µHC = 22 nF

BW = kHz

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny

Szeregowy obwód RLC (R = 2 Ω, L = 1 mH, C = 22 nF) jest zasilany w rezonansie prądem o amplitudzie 500 mA. Wyznacz energię E_cycle rozpraszaną w R w ciągu jednego cyklu, w µJ.

R = 2 ΩL = 1 mHC = 22 nFI_m = 500 mA

E_cycle = µJ

9.Moc w układach trójfazowychŚredni

Symetryczny odbiornik połączony w gwiazdę o impedancji 15 + j20 Ω na fazę jest przyłączony do symetrycznej sieci trójfazowej o napięciu przewodowym 415 V. Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

V_L = 415 VZ = 15 + j20 Ω na fazę

P = kW

10.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 80 kW przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym) z sieci 690 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,9 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w trójkąt. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 80 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Źródło Vₛ ładuje kondensator przez R₁, a R₂ jest połączony równolegle z C. Kondensator jest rozładowany, gdy łącznik zamyka się w t = 0. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 80 ms.

V_s = 20 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 47 µFt = 80 ms

v_C = V

12.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 6 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 5 ms.

V_s = 9 VR = 1 kΩC = 10 µFv_C(0) = 6 Vt = 5 ms

v_C = V

13.Thévenin i NortonŚredni

Wyznacz rezystancję Thévenina R_th widzianą z zacisków a–b.

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 Ω

R_th = Ω

14.Thévenin i NortonTrudny

Wyznacz prąd Nortona I_N: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.

V₁ = 18 VI_s = 5 AR₁ = 10 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 5 Ω

I_N = A

15.Wykresy Bodego i zapasyŚredni

Znajdź fazę ∠G(jω) G(s) = 17(s + 6)/(s(s + 7)) przy ω = 1 rad/s, w stopniach.

G(s) = 17(s + 6)/(s(s + 7))ω = 1 rad/s

∠G(jω) = °

16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny

Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = 154/(s(s + 4)(s + 7)). Znajdź częstotliwość odcięcia fazy ω₁₈₀, przy której ∠L(jω) = −180°.

L(s) = 154/(s(s + 4)(s + 7))

ω₁₈₀ = rad/s

3Roztwory

1.Liczby zespolone

Odpowiedź: b = 0,847

Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.

Wzór Eulera

z = 1,5·(cos 0,6 + j sin 0,6)

Składowe (radiany)

a = 1,5·cos 0,6 = 1,238

b = 1,5·sin 0,6 = 0,847

b = 0,847

Odpowiedź

b = 0,847

2.Liczby zespolone

Odpowiedź: r = 2

Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R^1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.

Para sprzężona

z₂ = −2 − j3

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−2)·z + ((−2)² + 3²) = z² + 4z + 13

Wydziel czynnik kwadratowy

z³ + 2z² + 5z − 26 = (z² + 4z + 13)(z − 2)

Pierwiastek rzeczywisty

r = 2

Odpowiedź

r = 2

Sprawdź sumą pierwiastków: z₁ + z₂ + r = −4 + 2 = −2 = −(2).

3.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: C = 140,7 µF

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(377²·0,05) = 140,7 µF

Odpowiedź

C = 140,7 µF

4.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: B = 47,75 Hz

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,05·0,01·10⁻⁶)) = 7118 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,05/(0,01·10⁻⁶)) = 149,1

Pasmo przenoszenia

B = f₀/Q = 7118/149,1 = 47,75 Hz

Odpowiedź

B = 47,75 Hz

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: P = 2304 W

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Prąd

|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω

I = V/|Z| = 240/20 = 12 A

Moc czynna

P = I²·R = 12²·16 = 2304 W

Odpowiedź

P = 2304 W

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: C = 220,2 µF

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(36,87°) = 11,25 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(25,84°) = 7,265 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 3,985 kvar

Pojemność

Kondensator dołączony do zasilania dostarcza Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 3985/(2π·50·240²) = 220,2 µF

Odpowiedź

C = 220,2 µF

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: BW = 3,386 kHz

Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f₁ i f₂ (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f₀ = √(f₁f₂), a f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e^−Rt/(2L).

Szerokość pasma w rad/s

R/L = 1/4,7 × 10⁻⁵ = 21277 rad/s

Szerokość pasma w Hz

BW = 21277/(2π) = 3386 Hz = 3,386 kHz

Odpowiedź

BW = 3,386 kHz

Dla f₀ = 156,5 kHz daje to Q = 46,22.

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: E_cycle = 7,368 µJ

Zgromadzona energia

W = ½·0,001·0,5² = 0,000125 J

Dobroć

Q = (1/2)·√(0,001/2,2 × 10⁻⁸) = 106,6

Energia tracona w jednym cyklu

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·0,000125/106,6 = 7,368 × 10⁻⁶ J = 7,368 µJ

sprawdzenie: ½·0,5²·2/33932 = 7,368 × 10⁻⁶ J

Odpowiedź

E_cycle = 7,368 µJ

9.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 4,133 kW

Napięcie fazowe

V_ph = 415/√3 = 239,6 V

Prąd fazowy

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω

I_ph = 239,6/25 = 9,584 A

Całkowita moc czynna

Moc czynną pobiera tylko rezystancyjna część każdej impedancji.

P = 3·I_ph²·R = 3·9,584²·15 = 4,133 kW

Odpowiedź

P = 4,133 kW

Sprawdzenie: cos φ = R/|Z| = 0,6, a √3·V_L·I_L·cos φ daje tę samą moc.

10.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 47,37 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,8) = 80·0,75 = 60 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,9) = 80·0,4843 = 38,75 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 21,25 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w trójkąt każdy kondensator jest włączony między dwa przewody fazowe.

V = 690 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 7085/(314,2·690²) = 47,37 µF

Odpowiedź

C_ph = 47,37 µF

11.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 9,248 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Obwód zastępczy Thevenina widziany przez kondensator

Zewrzyj źródło, aby wyznaczyć R_th; rozewrzyj kondensator, aby wyznaczyć napięcie, do którego się naładuje.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2,2·4,7/(2,2 + 4,7) = 1,499 kΩ

v_C(∞) = 20·4,7/(2,2 + 4,7) = 13,62 V

Stała czasowa

τ = R_th·C = 1,499·47 = 70,43 ms

Krzywa ładowania

v_C(t) = 13,62·(1 − e^−80/70,43) = 9,248 V

Odpowiedź

v_C = 9,248 V

12.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 7,18 V

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms

v_C(t) = 9 + (6 − 9)·e^−t/τ

Napięcie w danej chwili

v_C(5) = 9 + (−3)·e^−5/10 = 7,18 V

Odpowiedź

v_C = 7,18 V

13.Thévenin i Norton

Odpowiedź: R_th = 7,077 Ω

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 5·8/(5+8) = 3,077 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,077 + 4 = 7,077 Ω

14.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_N = 6,08 A

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·30/(10+30) = 7,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7,5 + 5 = 12,5 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 13,5 + 5·7,5 = 51 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 51 + 5·5 = 76 V

Układ zastępczy Nortona

Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.

I_N = V_th/R_th = 76/12,5 = 6,08 A

15.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: ∠G(jω) = −88,67 °

Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ω_c = 1/(RC) lub R/L oraz f_c = ω_c/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) i φ = −atan(ω/ω_c). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jω_c). Częstotliwość odcięcia fazy ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.

Dodaj kąty

∠G = atan(1/6) − 90° − atan(1/7) = 9,462° − 90° − 8,13°

Wynik

∠G(j1) = −88,67°

Odpowiedź

∠G(jω) = −88,67°

16.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: ω₁₈₀ = 5,292 rad/s

Częstotliwość odcięcia fazy

(ω/4)·(ω/7) = 1 → ω₁₈₀ = √(4·7) = 5,292 rad/s

Odpowiedź

ω₁₈₀ = 5,292 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Metoda

Impedancja i wskazy AC

Metoda

Moc AC i współczynnik mocy

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Metoda

Moc w układach trójfazowych

Stany nieustalone RC i RL

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Wzór Eulera

Składowe (radiany)

Odpowiedź

Para sprzężona

Wydziel czynnik kwadratowy

Pierwiastek rzeczywisty

Odpowiedź

Warunek rezonansu

Odpowiedź

Częstotliwość rezonansowa

Dobroć

Pasmo przenoszenia

Odpowiedź

Prąd

Moc czynna

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Pojemność

Odpowiedź

Szerokość pasma w rad/s

Szerokość pasma w Hz

Odpowiedź

Zgromadzona energia

Dobroć

Energia tracona w jednym cyklu

Odpowiedź

Napięcie fazowe

Prąd fazowy

Całkowita moc czynna

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Moc bierna z kondensatorów

Pojemność na fazę

Odpowiedź

Obwód zastępczy Thevenina widziany przez kondensator

Stała czasowa

Krzywa ładowania

Odpowiedź

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie w danej chwili

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Układ zastępczy Nortona

Dodaj kąty

Wynik

Odpowiedź

Częstotliwość odcięcia fazy

Odpowiedź

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego