Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 20 % rocznie z kapitalizacją dziennie. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 20%m = 365

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Na początku każdego roku przez 30 lat wpłacasz €5 000, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 6 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 30? Wyznacz FV.

A = €5 000i = 6%n = 30

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €21 000, €17 000, €20 000. Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 6%CF₀ = −45 000CF₁ = 21 000CF₂ = 17 000CF₃ = 20 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €7 000, €3 500, €4 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 000CF₂ = 3 500CF₃ = 4 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 8 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 6%YTM = 3,5%n = 8

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja jest notowana po €1 045 przy rentowności do wykupu 6% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 3,4 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność wzrośnie o 50 punktów bazowych.

P₀ = €1 045y = 6%D = 3,4Δy = +50 bp

P = €

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €2 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 8%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stopa podatkowa 20%. Wyznacz WACC.

E = €2 000 000D = €5 000 000r_e = 8%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 2 500 000 akcji po €24,00 za sztukę i 40 000 obligacji notowanych po €1 020 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 7%, a stopa podatkowa 25,8%. Współczynnik beta akcji to 1,1, stopa wolna od ryzyka 4%, a stopa zwrotu z rynku 11%. Wyznacz WACC.

β = 1,1r_f = 4%r_m = 11%r_d = 7%T = 25,8%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €24 za sztukę przy koszcie zmiennym €4 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €20 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €2 000?

F = €20 000p = €24v = €4zysk = €2 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 2 000 sztuk po €38 za sztukę, przy koszcie zmiennym €18 na sztukę i kosztach stałych €16 000. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży wzrośnie o 10 %?

Q = 2 000p = €38v = €18F = €16 000%ΔQ = +10%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 22,13 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,2/365 = 0,0005479

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,0005479)³⁶⁵ − 1 = 1,221 − 1 = 22,13%

Odpowiedź

EAR = 22,13%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 419008 €

Współczynnik renty zwykłej

((1 + 0,06)³⁰ − 1)/0,06 = 79,06

Renta płatna z góry

Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.

FV = 5 000·79,06·1,06 = €419 008,39

Odpowiedź

FV = €419 008,39

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 6734 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 21 000/1,06 = 19 811,32

CF₂/(1 + 0,06)² = 17 000/1,124 = 15 129,94

CF₃/(1 + 0,06)³ = 20 000/1,191 = 16 792,39

Zsumuj

NPV = €6 733,65

Odpowiedź

NPV = €6 733,65

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 24,15 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(20%) = 578,70

NPV(25%) = −112,00

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 20 + 5·578,70/(578,70 − (−112,00)) = 24,19%

dokładnie: NPV(24,15%) = 0 → IRR = 24,15%

Odpowiedź

IRR = 24,15%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1173 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €30,00, i = 0,0175, N = 16

Wartość bieżąca kuponów

€30,00·(1 − 0,7576)/0,0175 = €415,51

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,7576 = €757,62

Cena

P = €1 173,13

Odpowiedź

P = €1 173,13

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1028 €

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Zmodyfikowana duration

D_mod = 3,4/1,06 = 3,208

Szacowana zmiana ceny

%ΔP ≈ −3,208·(0,005) = −1,604%

P ≈ 1045·(1 − 0,01604) = €1 028,24

Odpowiedź

P = €1 028,24

Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 4 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €7 000 000, E/V = 0,2857, D/V = 0,7143

WACC

WACC = 0,2857·8% + 0,7143·3%·(1 − 0,2) = 4%

Odpowiedź

WACC = 4%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,067 %

Wartości rynkowe

E = 2 500 000·€24,00 = €60 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 4% + 1,1·7% = 11,7%

Wagi

V = €100 800 000, E/V = 0,5952, D/V = 0,4048

WACC

WACC = 0,5952·11,7% + 0,4048·7%·(1 − 0,258) = 9,067%

Odpowiedź

WACC = 9,067%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 1100 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Jednostkowa marża pokrycia

p − v = 24 − 4 = €20

Sztuki dla docelowego zysku

Q = (F + zysk)/(p − v) = (20 000 + 2 000)/20 = 1 100

Odpowiedź

Q = 1 100 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = 16,67 %

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Marża pokrycia i zysk

CM = 2 000·20 = €40 000

Π = 40 000 − 16 000 = €24 000

DOL

DOL = 40 000/24 000 = 1,667

Zmiana zysku

%ΔΠ = 1,667·(+10%) = +16,67%

Odpowiedź

%ΔΠ = +16,67%

Sprawdzenie: nowy zysk = 2 200·20 − 16 000 = €28 000,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance