Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €20 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 3 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 9 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.

C₁ = €20 000g = 3%r = 9%

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €15 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 7 lat przy 2,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?

P = €15 0002,4% / 12N = 84

I = €

3.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €100 000. Przynosi €22 000 na koniec każdego roku przez 5 lat, a potem można ją sprzedać za €15 000. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €100 000CF = €22 000S = €15 000n = 5r = 10%

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €5 000, €7 000, €5 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 7 000CF₃ = 5 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Kupujesz obligację z 11 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 6%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 9%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 10%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.

F = €1 000kupon = 6%n = 11y₀ = 9%y₁ = 10%

HPR = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 6 latach, a jej cena wynosi €1 075. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 7%n = 6P = €1 075

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Akcja o becie 2 ma wymaganą stopę zwrotu 14%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 2%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku r_m implikuje CAPM?

β = 2r_e = 14%r_f = 2%

r_m = %

8.CAPM i WACCTrudny

Akcje firmy mają betę 1,3 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,25. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 1,25. Stawka podatku wynosi 30%, stopa wolna od ryzyka 2,5%, a rynkowa premia za ryzyko 7%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e po zmianie.

β_L = 1,3D/E₁ = 0,25D/E₂ = 1,25T = 30%r_f = 2,5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €12 za sztukę przy koszcie zmiennym €4 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €16 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €12 000?

F = €16 000p = €12v = €4zysk = €12 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje dwa produkty. Produkt A sprzedaje się po €13 przy koszcie zmiennym €8; produkt B po €23 przy koszcie zmiennym €15. Sprzedają się w stałej strukturze: 2 sztuk A na każde 3 sztuk B. Koszty stałe wynoszą €34 000 miesięcznie. Wyznacz łączną liczbę sztuk Q (A i B razem) potrzebną do osiągnięcia progu rentowności.

p_A = €13, v_A = €8p_B = €23, v_B = €15A : B = 2 : 3F = €34 000

Q = szt.

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 333333 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Rosnąca renta wieczysta

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0,09 − 0,03) = 20 000/0,06 = €333 333,33

Odpowiedź

PV = €333 333,33

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: I = 1310 €

Rata miesięczna

i = 0,002, N = 84

A = 15 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻⁸⁴) = €194,17

Łączne odsetki

I = N·A − P = 84·194,2 − 15 000 = €1 310,22

Odpowiedź

I = €1 310,22

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −7289 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca rocznych przepływów

22 000·3,791 = 83 397,31

Wartość bieżąca wartości końcowej

15 000/1,611 = 9 313,82

NPV

NPV = −100 000 + 83 397,31 + 9 313,82 = −€7 288,87

Odpowiedź

NPV = −€7 288,87

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 31,85 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(30%) = 264,00

NPV(35%) = −423,21

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 30 + 5·264,00/(264,00 − (−423,21)) = 31,92%

dokładnie: NPV(31,85%) = 0 → IRR = 31,85%

Odpowiedź

IRR = 31,85%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: HPR = 2,309 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena zakupu

C = €60,00, i = 0,09, N = 11

€60,00·(1 − 0,3875)/0,09 + €1 000·0,3875 = €408,31 + €387,53 = €795,84

Cena sprzedaży

C = €60,00, i = 0,1, N = 10

€60,00·(1 − 0,3855)/0,1 + €1 000·0,3855 = €368,67 + €385,54 = €754,22

Stopa zwrotu z okresu posiadania

HPR = (60 + 754,22 − 795,84)/795,84 = 2,309%

Odpowiedź

HPR = 2,309%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 5,499 %

Równanie dla rentowności

€1 075 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Rozwiąż numerycznie

P(5%) = €1 101,51, P(6%) = €1 049,17

YTM = 5,499%

Odpowiedź

YTM = 5,499%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_m = 8 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Rynkowa premia za ryzyko

r_m − r_f = (14% − 2%)/2 = 6%

Stopa zwrotu z rynku

r_m = 2% + 6% = 8%

Odpowiedź

r_m = 8%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 17,02 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Usuń dźwignię z bety

β_U = 1,3/(1 + 0,7·0,25) = 1,106

Zlewaruj ponownie przy nowym D/E

β_L = 1,106·(1 + 0,7·1,25) = 2,074

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2,5% + 2,074·7% = 17,02%

Odpowiedź

r_e = 17,02%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 3500 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Jednostkowa marża pokrycia

p − v = 12 − 4 = €8

Sztuki dla docelowego zysku

Q = (F + zysk)/(p − v) = (16 000 + 12 000)/8 = 3 500

Odpowiedź

Q = 3 500 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 5000 szt.

Próg rentowności przy strukturze sprzedaży: gdy produkty sprzedają się w stałej proporcji, użyj średniej ważonej marży pokrycia: zważ p − v każdego produktu jego udziałem w liczbie sztuk. Liczba sztuk w progu rentowności = F/(ważona marża pokrycia), a potem podziel ją ponownie według struktury sprzedaży.

Marże pokrycia

cm_A = €5, cm_B = €8

Ważona marża pokrycia

(2·5 + 3·8)/5 = €6,80

Liczba sztuk w progu rentowności

Q = 34 000/6,8 = 5 000

A: 2 000, B: 3 000

Odpowiedź

Q = 5 000 szt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance