W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Inwestujesz €5 000 przy nominalnej stopie 2 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 7 latach.
PV = €5 0002% / 4n = 7
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Za 16 lat chcesz mieć €20 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 2,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.
FV = €20 0002,4% / 12N = 192
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €30 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €13 000, €15 000, €14 000. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €13 000, €8 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −20 000CF1 = 13 000CF2 = 8 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% i zapada za 5 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 2,5% na 3,5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?
F = €1 000kupon = 6%n = 5y1 = 2,5%y2 = 3,5%
ΔP = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 4% zostanie wykupiona po 7 latach, a jej cena wynosi €865. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 4%n = 7P = €865
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Akcja o becie 0,8 ma wymaganą stopę zwrotu 8,4%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 4%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku rm implikuje CAPM?
β = 0,8re = 8,4%rf = 4%
rm = %
8.CAPM i WACCTrudny
Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 0,9. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,75. Stawka podatku wynosi 25,8%, stopa wolna od ryzyka 4%, a rynkowa premia za ryzyko 5%. Wyznacz koszt kapitału własnego re przy nowej strukturze kapitału.
βU = 0,9D/E = 0,75T = 25,8%rf = 4%rm − rf = 5%
re = %
9.Analiza progu rentownościŚredni
Produkt można wytwarzać na dwa sposoby. Metoda A ma koszty stałe €20 000 rocznie i koszt zmienny €25 na sztukę. Bardziej zautomatyzowana metoda B ma koszty stałe €27 500 rocznie i koszt zmienny €20 na sztukę. Przy jakiej rocznej wielkości produkcji Q obie metody kosztują tyle samo?
FA = €20 000vA = €25FB = €27 500vB = €20
Q = szt.
10.Analiza progu rentownościTrudny
Firma sprzedaje miesięcznie 3 130 sztuk po €17 za sztukę, przy koszcie zmiennym €15 na sztukę i kosztach stałych €5 000 miesięcznie. Koszt zmienny rośnie o €1 na sztukę, a cena pozostaje bez zmian. Ile sztuk Q trzeba teraz sprzedawać miesięcznie, aby utrzymać ten sam zysk?
Q = 3 130p = €17v = €15 → €16F = €5 000
Q = szt.
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 5749 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa i liczba okresów
i = r/m = 0,02/4 = 0,005
N = m·n = 4·7 = 28
Wartość przyszła
FV = 5 000·(1 + 0,005)28 = 5 000·1,15 = €5 749,36
Odpowiedź
FV = €5 749,36
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 85,55 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 13 000/1,1 = 11 818,18
CF2/(1 + 0,1)2 = 15 000/1,21 = 12 396,69
CF3/(1 + 0,1)3 = 14 000/1,331 = 10 518,41
Zsumuj
NPV = €4 733,28
Odpowiedź
NPV = €4 733,28
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 5,344 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(5%) = 90,70
NPV(10%) = −1 157,02
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
IRR ≈ 5 + 5·90,70/(90,70 − (−1 157,02)) = 5,363%
dokładnie: NPV(5,344%) = 0 → IRR = 5,344%
Odpowiedź
IRR = 5,344%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: ΔP = −49,73 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€865 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Rozwiąż numerycznie
P(6%) = €888,35, P(7%) = €838,32
YTM = 6,458%
Odpowiedź
YTM = 6,458%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: rm = 9,5 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Rynkowa premia za ryzyko
rm − rf = (8,4% − 4%)/0,8 = 5,5%
Stopa zwrotu z rynku
rm = 4% + 5,5% = 9,5%
Odpowiedź
rm = 9,5%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 11 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Beta lewarowana
βL = 0,9·(1 + 0,742·0,75) = 1,401
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 4% + 1,401·5% = 11%
Odpowiedź
re = 11%
9.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: Q = 1500 szt.
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).
Równe koszty całkowite
20 000 + 25Q = 27 500 + 20Q
Wyznacz Q
Q = (27 500 − 20 000)/(25 − 20) = 1 500
Odpowiedź
Q = 1 500 szt.
Poniżej tej wielkości tańsza jest metoda A; powyżej tańsza jest zautomatyzowana metoda B.
10.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: Q = 6260 szt.
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).