Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Renta wypłaca €1 500 na koniec każdego roku przez 20 lat. Stopa procentowa wynosi 8 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.

A = €1 500i = 8%n = 20

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €25 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 4 lat. Oprocentowanie wynosi 2,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €25 0002,4% / 12N = 48

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €40 000 i przynosi €12 000 na koniec każdego roku przez 6 lat. Koszt kapitału wynosi 6 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 12 000CF₂ = 12 000CF₃ = 12 000CF₄ = 12 000CF₅ = 12 000CF₆ = 12 000

DPB = lata

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje dziś €150 000. Jego przepływ wynosi €23 500 na koniec roku 1 i rośnie o 3 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 7. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €23 500g = 3%n = 7r = 12%

NPV = €

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Kupujesz obligację z 9 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 4%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 9%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 9,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.

F = €1 000kupon = 4%n = 9y₀ = 9%y₁ = 9,5%

HPR = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 8% zostanie wykupiona po 3 latach, a jej cena wynosi €940. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 8%n = 3P = €940

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Firma ma kapitał własny o wartości €3 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej WACC wynosi 6,86%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stawka podatku 28%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e.

E = €3 000 000D = €2 000 000WACC = 6,86%r_d = 3%T = 28%

r_e = %

8.CAPM i WACCTrudny

Akcje firmy mają betę 1,3 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,4. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 0,75. Stawka podatku wynosi 20%, stopa wolna od ryzyka 2%, a rynkowa premia za ryzyko 7%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e po zmianie.

β_L = 1,3D/E₁ = 0,4D/E₂ = 0,75T = 20%r_f = 2%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Firma sprzedaje 2 500 sztuk po €14 za sztukę. Koszt zmienny wynosi €6 na sztukę, a koszty stałe €8 000. Wyznacz stopień dźwigni operacyjnej DOL przy tym poziomie sprzedaży.

Q = 2 500p = €14v = €6F = €8 000

DOL =

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 10 000 sztuk po €17 za sztukę, przy koszcie zmiennym €15 na sztukę i kosztach stałych €8 000. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży wzrośnie o 5 %?

Q = 10 000p = €17v = €15F = €8 000%ΔQ = +5%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 14727 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,2145)/0,08 = 9,818

Wartość bieżąca

PV = 1 500·9,818 = €14 727,22

Odpowiedź

PV = €14 727,22

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 546,8 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·4 = 48

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,9086

A = 25 000·0,002/(1 − 0,9086) = €546,75

Odpowiedź

A = €546,75

3.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 3,834 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 12 000/1,06 = 11 320,75 → Σ = 11 320,75

rok 2: 12 000/1,124 = 10 679,96 → Σ = 22 000,71

rok 3: 12 000/1,191 = 10 075,43 → Σ = 32 076,14

rok 4: 12 000/1,262 = 9 505,12 → Σ = 41 581,27

Ułamek ostatniego roku

DPB = 3 + 7 923,86/9 505,12 = 3,834

Odpowiedź

DPB = 3,834 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,333 lat).

4.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −34153 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca renty rosnącej

((1,03)/(1,12))⁷ = 0,5563

PV = 23 500/(0,12 − 0,03)·(1 − 0,5563) = 115 846,52

NPV

NPV = 115 846,52 − 150 000 = −€34 153,48

Odpowiedź

NPV = −€34 153,48

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: HPR = 5,844 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena zakupu

C = €40,00, i = 0,09, N = 9

€40,00·(1 − 0,4604)/0,09 + €1 000·0,4604 = €239,81 + €460,43 = €700,24

Cena sprzedaży

C = €40,00, i = 0,095, N = 8

€40,00·(1 − 0,4838)/0,095 + €1 000·0,4838 = €217,34 + €483,82 = €701,16

Stopa zwrotu z okresu posiadania

HPR = (40 + 701,16 − 700,24)/700,24 = 5,844%

Odpowiedź

HPR = 5,844%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 10,43 %

Równanie dla rentowności

€940 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Rozwiąż numerycznie

P(10%) = €950,26, P(11%) = €926,69

YTM = 10,43%

Odpowiedź

YTM = 10,43%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 9,993 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

Część dłużna WACC

0,4·3%·(1 − 0,28) = 0,864%

Koszt kapitału własnego

r_e = (6,86% − 0,864%)/0,6 = 9,993%

Odpowiedź

r_e = 9,993%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 13,03 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Usuń dźwignię z bety

β_U = 1,3/(1 + 0,8·0,4) = 0,9848

Zlewaruj ponownie przy nowym D/E

β_L = 0,9848·(1 + 0,8·0,75) = 1,576

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2% + 1,576·7% = 13,03%

Odpowiedź

r_e = 13,03%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: DOL = 1,667

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Całkowita marża pokrycia

CM = 2 500·(14 − 6) = €20 000

Zysk operacyjny

Π = 20 000 − 8 000 = €12 000

DOL

DOL = 20 000/12 000 = 1,667

Odpowiedź

DOL = 1,667

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = 8,333 %

Marża pokrycia i zysk

CM = 10 000·2 = €20 000

Π = 20 000 − 8 000 = €12 000

DOL

DOL = 20 000/12 000 = 1,667

Zmiana zysku

%ΔΠ = 1,667·(+5%) = +8,333%

Odpowiedź

%ΔΠ = +8,333%

Sprawdzenie: nowy zysk = 10 500·2 − 8 000 = €13 000,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance