W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Za 2 lat potrzebujesz €10 000. Konto daje 4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.
FV = €10 0004% / 12n = 2
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Pożyczasz €10 000 przy 7,2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €175 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.
P = €10 000A = €1757,2% / 12
N = raty
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €60 000. Przynosi €22 500 na koniec każdego roku przez 3 lat, a potem można ją sprzedać za €15 000. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €60 000CF = €22 500S = €15 000n = 3r = 10%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt A kosztuje €10 000 i przynosi €5 500, €4 000, €2 500 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €15 000 i przynosi €4 000, €6 500, €8 000. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 5 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 5%YTM = 3%n = 5
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4,5% i zapada za 6 lat. Rentowność do wykupu wynosi 3%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.
F = €1 000kupon = 4,5%n = 6YTM = 3%
D = lata
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €10 000 000 i dług o wartości €3 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 9%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 25%. Wyznacz WACC.
Firma ma 4 000 000 akcji notowanych po €48,00; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €96 000 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €0,80 na akcję, a dywidendy rosną o 5% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €192 000 000 i koszt przed opodatkowaniem 6%. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.
Produkt sprzedaje się po €25 za sztukę przy koszcie zmiennym €15 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €12 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €12 000?
F = €12 000p = €25v = €15zysk = €12 000
Q = szt.
10.Analiza progu rentownościTrudny
Firma sprzedaje dwa produkty. Produkt A sprzedaje się po €14 przy koszcie zmiennym €10; produkt B po €35 przy koszcie zmiennym €20. Sprzedają się w stałej strukturze: 2 sztuk A na każde 3 sztuk B. Koszty stałe wynoszą €42 400 miesięcznie. Wyznacz łączną liczbę sztuk Q (A i B razem) potrzebną do osiągnięcia progu rentowności.
pA = €14, vA = €10pB = €35, vB = €20A : B = 2 : 3F = €42 400
Q = szt.
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 9232 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa i liczba okresów
i = 0,04/12 = 0,003333
N = 12·2 = 24
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,083 = €9 232,39
Odpowiedź
PV = €9 232,39
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: N = 71 raty
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Przekształć wzór na rentę
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,006/175 = 0,6571
Rozwiąż za pomocą logarytmów
N = −ln(0,6571)/ln(1,006) = 70,19
Zaokrąglij w górę do pełnych rat
70 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.
N = 71
Odpowiedź
N = 71 raty
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 7224 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca rocznych przepływów
22 500·2,487 = 55 954,17
Wartość bieżąca wartości końcowej
15 000/1,331 = 11 269,72
NPV
NPV = −60 000 + 55 954,17 + 11 269,72 = €7 223,89
Odpowiedź
NPV = €7 223,89
4.NPV i IRR
Odpowiedź: r* = 8,826 %
Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.
Różnica przepływów
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 5 500 = −1 500
ΔCF2 = 6 500 − 4 000 = 2 500
ΔCF3 = 8 000 − 2 500 = 5 500
IRR różnicy
NPVΔ(8%) = 120,54
NPVΔ(9%) = −24,94
r* = 8,826%
Odpowiedź
r* = 8,826%
Sprawdzenie: przy 8,826% oba NPV wynoszą €371,17.
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 1092 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €25,00, i = 0,015, N = 10
Wartość bieżąca kuponów
€25,00·(1 − 0,8617)/0,015 = €230,55
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,8617 = €861,67
Cena
P = €1 092,22
Odpowiedź
P = €1 092,22
Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: D = 5,417 lata
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Wartość bieżąca każdego przepływu
t = 1: 45/1,03 = 43,69, t·PV = 43,69
t = 2: 45/1,061 = 42,42, t·PV = 84,83
t = 3: 45/1,093 = 41,18, t·PV = 123,54
t = 4: 45/1,126 = 39,98, t·PV = 159,93
t = 5: 45/1,159 = 38,82, t·PV = 194,09
t = 6: 1045/1,194 = 875,17, t·PV = 5 251,03
Duration
P = 1 081,26
D = 5 857,11/1 081,26 = 5,417
Odpowiedź
D = 5,417 lata
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,788 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308
WACC
WACC = 0,7692·9% + 0,2308·5%·(1 − 0,25) = 7,788%
Odpowiedź
WACC = 7,788%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 5,745 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału własnego
D1 = 0,8·1,05 = €0,84
re = 0,84/48 + 0,05 = 6,75%
Wartości rynkowe
E = 4 000 000·€48,00 = €192 000 000
V = €384 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·6,75% + 0,5·6%·(1 − 0,21) = 5,745%
Odpowiedź
WACC = 5,745%
9.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: Q = 2400 szt.
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).
Próg rentowności przy strukturze sprzedaży: gdy produkty sprzedają się w stałej proporcji, użyj średniej ważonej marży pokrycia: zważ p − v każdego produktu jego udziałem w liczbie sztuk. Liczba sztuk w progu rentowności = F/(ważona marża pokrycia), a potem podziel ją ponownie według struktury sprzedaży.