Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €2 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 2 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 8 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.

C₁ = €2 000g = 2%r = 8%

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €12 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 3 lat. Oprocentowanie wynosi 6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €12 0006% / 12N = 36

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €100 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €8 000, a potem przepływ rośnie o 1 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €8 000g = 1%r = 8%

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €18 000, €15 500, €12 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 000CF₂ = 15 500CF₃ = 12 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 4 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 4%YTM = 5,5%n = 4

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% i zapada za 5 lat. Rentowność do wykupu wynosi 2,5%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 2%n = 5YTM = 2,5%

D = lata

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €10 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stopa podatkowa 28%. Wyznacz WACC.

E = €10 000 000D = €1 000 000r_e = 11%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 1 000 000 akcji po €40,50 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3%, a stopa podatkowa 30%. Współczynnik beta akcji to 1,2, stopa wolna od ryzyka 1%, a stopa zwrotu z rynku 7,5%. Wyznacz WACC.

β = 1,2r_f = 1%r_m = 7,5%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Firma sprzedaje 2 500 sztuk po €40 za sztukę. Koszt zmienny wynosi €25 na sztukę, a koszty stałe €30 000. Wyznacz stopień dźwigni operacyjnej DOL przy tym poziomie sprzedaży.

Q = 2 500p = €40v = €25F = €30 000

DOL =

10.Analiza progu rentownościTrudny

Produkt sprzedaje się po €40 za sztukę, przy koszcie zmiennym €20 na sztukę i kosztach stałych €30 000 rocznie. Planowana sprzedaż to 1 800 szt. Wyznacz margines bezpieczeństwa MS jako procent planowanej sprzedaży.

F = €30 000p = €40v = €20plan = 1 800

MS = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 33333 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Rosnąca renta wieczysta

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0,08 − 0,02) = 2 000/0,06 = €33 333,33

Odpowiedź

PV = €33 333,33

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 365,1 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·3 = 36

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,8356

A = 12 000·0,005/(1 − 0,8356) = €365,06

Odpowiedź

A = €365,06

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 14286 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość przepływów

PV = 8 000/(0,08 − 0,01) = 114 285,71

NPV

NPV = 114 285,71 − 100 000 = €14 285,71

Odpowiedź

NPV = €14 285,71

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 40,47 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(40%) = 138,48

NPV(45%) = −1 277,83

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 40 + 5·138,48/(138,48 − (−1 277,83)) = 40,49%

dokładnie: NPV(40,47%) = 0 → IRR = 40,47%

Odpowiedź

IRR = 40,47%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 946,8 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €20,00, i = 0,0275, N = 8

Wartość bieżąca kuponów

€20,00·(1 − 0,8049)/0,0275 = €141,89

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,8049 = €804,91

Cena

P = €946,79

Odpowiedź

P = €946,79

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 4,805 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 20/1,025 = 19,51, t·PV = 19,51

t = 2: 20/1,051 = 19,04, t·PV = 38,07

t = 3: 20/1,077 = 18,57, t·PV = 55,72

t = 4: 20/1,104 = 18,12, t·PV = 72,48

t = 5: 1020/1,131 = 901,53, t·PV = 4 507,66

Duration

P = 976,77

D = 4 693,43/976,77 = 4,805

Odpowiedź

D = 4,805 lata

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 10,46 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091

WACC

WACC = 0,9091·11% + 0,09091·7%·(1 − 0,28) = 10,46%

Odpowiedź

WACC = 10,46%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,473 %

Wartości rynkowe

E = 1 000 000·€40,50 = €40 500 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1% + 1,2·6,5% = 8,8%

Wagi

V = €50 500 000, E/V = 0,802, D/V = 0,198

WACC

WACC = 0,802·8,8% + 0,198·3%·(1 − 0,3) = 7,473%

Odpowiedź

WACC = 7,473%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: DOL = 5

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Całkowita marża pokrycia

CM = 2 500·(40 − 25) = €37 500

Zysk operacyjny

Π = 37 500 − 30 000 = €7 500

DOL

DOL = 37 500/7 500 = 5

Odpowiedź

DOL = 5

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: MS = 16,67 %

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Ilość w progu rentowności

Q = F/(p − v) = 30 000/20 = 1 500

Margines bezpieczeństwa

MS = (1 800 − 1 500)/1 800·100 = 16,67%

Odpowiedź

MS = 16,67%

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance