W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Za 4 lat potrzebujesz €25 000. Konto daje 3,6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.
FV = €25 0003,6% / 12n = 4
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Pożyczasz €8 000 przy 2,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €150 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.
P = €8 000A = €1502,4% / 12
N = raty
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €40 000 i przynosi €12 000 na koniec każdego roku przez 4 lat. Koszt kapitału wynosi 5 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.
Projekt A kosztuje €30 000 i przynosi €17 000, €11 500, €7 000 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €35 000 i przynosi €9 500, €14 500, €19 000. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.
Kupujesz obligację z 4 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 5%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 5,5%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 5%n = 4y0 = 5,5%y1 = 5%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 8% zostanie wykupiona po 8 latach, a jej cena wynosi €1 125. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 8%n = 8P = €1 125
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €6 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 9%, koszt długu przed opodatkowaniem 4,5%, a stopa podatkowa 30%. Wyznacz WACC.
Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €10 000 000 i koszcie 12%. Jej dług stanowi 4 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 6%, 11 lat do wykupu), notowanych po €925 za sztukę. Stawka podatku wynosi 25%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.
Firma sprzedaje 6 000 sztuk po €18 za sztukę. Koszt zmienny wynosi €15 na sztukę, a koszty stałe €15 000. Wyznacz stopień dźwigni operacyjnej DOL przy tym poziomie sprzedaży.
Q = 6 000p = €18v = €15F = €15 000
DOL =
10.Analiza progu rentownościTrudny
Firma sprzedaje miesięcznie 1 600 sztuk po €25 za sztukę, przy koszcie zmiennym €20 na sztukę i kosztach stałych €4 000 miesięcznie. Koszt zmienny rośnie o €1 na sztukę, a cena pozostaje bez zmian. Ile sztuk Q trzeba teraz sprzedawać miesięcznie, aby utrzymać ten sam zysk?
Q = 1 600p = €25v = €20 → €21F = €4 000
Q = szt.
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 21652 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa i liczba okresów
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·4 = 48
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,155 = €21 651,86
Odpowiedź
PV = €21 651,86
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: N = 57 raty
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Przekształć wzór na rentę
i = 0,002
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0,002/150 = 0,8933
Rozwiąż za pomocą logarytmów
N = −ln(0,8933)/ln(1,002) = 56,45
Zaokrąglij w górę do pełnych rat
56 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.
N = 57
Odpowiedź
N = 57 raty
3.NPV i IRR
Odpowiedź: DPB = 3,742 lata
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Przepływy zdyskontowane i skumulowane
rok 1: 12 000/1,05 = 11 428,57 → Σ = 11 428,57
rok 2: 12 000/1,103 = 10 884,35 → Σ = 22 312,93
rok 3: 12 000/1,158 = 10 366,05 → Σ = 32 678,98
rok 4: 12 000/1,216 = 9 872,43 → Σ = 42 551,41
Ułamek ostatniego roku
DPB = 3 + 7 321,02/9 872,43 = 3,742
Odpowiedź
DPB = 3,742 lata
Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,333 lat).
4.NPV i IRR
Odpowiedź: r* = 8,627 %
Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.
Różnica przepływów
ΔCF0 = −35 000 − (−30 000) = −5 000
ΔCF1 = 9 500 − 17 000 = −7 500
ΔCF2 = 14 500 − 11 500 = 3 000
ΔCF3 = 19 000 − 7 000 = 12 000
IRR różnicy
NPVΔ(8%) = 153,56
NPVΔ(9%) = −89,49
r* = 8,627%
Odpowiedź
r* = 8,627%
Sprawdzenie: przy 8,627% oba NPV wynoszą €856,88.
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: HPR = 6,873 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€1 125 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Rozwiąż numerycznie
P(5%) = €1 193,90, P(6%) = €1 124,20
YTM = 5,988%
Odpowiedź
YTM = 5,988%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 5,809 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €11 000 000, E/V = 0,4545, D/V = 0,5455
WACC
WACC = 0,4545·9% + 0,5455·4,5%·(1 − 0,3) = 5,809%
Odpowiedź
WACC = 5,809%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 10,18 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt długu (YTM)
925 = 60·(1 − (1 + y)−11)/y + 1000/(1 + y)11
y = 7%
Wartości rynkowe
D = 4 000·€925 = €3 700 000
V = €13 700 000, E/V = 0,7299, D/V = 0,2701
WACC
WACC = 0,7299·12% + 0,2701·7%·(1 − 0,25) = 10,18%
Odpowiedź
WACC = 10,18%
9.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: DOL = 6
Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.
Całkowita marża pokrycia
CM = 6 000·(18 − 15) = €18 000
Zysk operacyjny
Π = 18 000 − 15 000 = €3 000
DOL
DOL = 18 000/3 000 = 6
Odpowiedź
DOL = 6
10.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: Q = 2000 szt.
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).