Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €10 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 4 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 6 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.

C₁ = €10 000g = 4%r = 6%

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €50 na koniec każdego miesiąca przez 9 lat. Konto daje 3 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €503% / 12N = 108

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €50 000. Przynosi €10 000 na koniec każdego roku przez 7 lat, a potem można ją sprzedać za €12 500. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €50 000CF = €10 000S = €12 500n = 7r = 10%

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €14 500, €12 000, €15 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −25 000CF₁ = 14 500CF₂ = 12 000CF₃ = 15 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 5 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 4%YTM = 3,5%n = 5

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 6% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €1 150. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 6%n = 9P = €1 150

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €3 000 000 i dług o wartości €6 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stopa podatkowa 28%. Wyznacz WACC.

E = €3 000 000D = €6 000 000r_e = 11%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €12 000 000 i koszcie 10%. Jej dług stanowi 5 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 7%, 6 lat do wykupu), notowanych po €1 075 za sztukę. Stawka podatku wynosi 25,8%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €12 000 000r_e = 10%obligacje: 5 000 × €1 075kupon = 7%n = 6T = 25,8%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €20 za sztukę przy koszcie zmiennym €15 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €10 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €6 000?

F = €10 000p = €20v = €15zysk = €6 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 750 sztuk po €16 za sztukę, przy koszcie zmiennym €8 na sztukę i kosztach stałych €4 000. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży spadnie o 8 %?

Q = 750p = €16v = €8F = €4 000%ΔQ = −8%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 500000 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Rosnąca renta wieczysta

PV = C₁/(r − g) = 10 000/(0,06 − 0,04) = 10 000/0,02 = €500 000,00

Odpowiedź

PV = €500 000,00

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 6190 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·9 = 108

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1,31 − 1)/0,0025 = €6 190,46

Odpowiedź

FV = €6 190,46

Sam wpłaciłeś €5 400; reszta to odsetki.

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 5099 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca rocznych przepływów

10 000·4,868 = 48 684,19

Wartość bieżąca wartości końcowej

12 500/1,949 = 6 414,48

NPV

NPV = −50 000 + 48 684,19 + 6 414,48 = €5 098,66

Odpowiedź

NPV = €5 098,66

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 30,87 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(30%) = 309,51

NPV(35%) = −1 375,04

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 30 + 5·309,51/(309,51 − (−1 375,04)) = 30,92%

dokładnie: NPV(30,87%) = 0 → IRR = 30,87%

Odpowiedź

IRR = 30,87%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1023 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €20,00, i = 0,0175, N = 10

Wartość bieżąca kuponów

€20,00·(1 − 0,8407)/0,0175 = €182,02

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,8407 = €840,73

Cena

P = €1 022,75

Odpowiedź

P = €1 022,75

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 3,984 %

Równanie dla rentowności

€1 150 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Rozwiąż numerycznie

P(3%) = €1 233,58, P(4%) = €1 148,71

YTM = 3,984%

Odpowiedź

YTM = 3,984%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,027 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €9 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667

WACC

WACC = 0,3333·11% + 0,6667·7%·(1 − 0,28) = 7,027%

Odpowiedź

WACC = 7,027%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,169 %

Koszt długu (YTM)

1075 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1000/(1 + y)⁶

y = 5,499%

Wartości rynkowe

D = 5 000·€1 075 = €5 375 000

V = €17 375 000, E/V = 0,6906, D/V = 0,3094

WACC

WACC = 0,6906·10% + 0,3094·5,499%·(1 − 0,258) = 8,169%

Odpowiedź

WACC = 8,169%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 3200 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Jednostkowa marża pokrycia

p − v = 20 − 15 = €5

Sztuki dla docelowego zysku

Q = (F + zysk)/(p − v) = (10 000 + 6 000)/5 = 3 200

Odpowiedź

Q = 3 200 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = −24 %

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Marża pokrycia i zysk

CM = 750·8 = €6 000

Π = 6 000 − 4 000 = €2 000

DOL

DOL = 6 000/2 000 = 3

Zmiana zysku

%ΔΠ = 3·(−8%) = −24%

Odpowiedź

%ΔΠ = −24%

Sprawdzenie: nowy zysk = 690·8 − 4 000 = €1 520,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance