W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Inwestujesz €3 000 przy nominalnej stopie 3,6 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 8 latach.
PV = €3 0003,6% / 4n = 8
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Odkładasz €300 na koniec każdego miesiąca przez 8 lat. Konto daje 4,8 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.
A = €3004,8% / 12N = 96
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €60 000. Przynosi €16 000 na koniec każdego roku przez 4 lat, a potem można ją sprzedać za €9 000. Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €60 000CF = €16 000S = €9 000n = 4r = 6%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje dziś €200 000. Jego przepływ wynosi €40 000 na koniec roku 1 i rośnie o 5 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 6. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €200 000CF1 = €40 000g = 5%n = 6r = 8%
NPV = €
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% i zapada za 6 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 9% na 7,5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?
F = €1 000kupon = 5%n = 6y1 = 9%y2 = 7,5%
ΔP = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 6% zostanie wykupiona po 6 latach, a jej cena wynosi €930. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 6%n = 6P = €930
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €8 000 000 i dług o wartości €4 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt długu przed opodatkowaniem 3,5%, a stopa podatkowa 30%. Wyznacz WACC.
Spółka ma 2 000 000 akcji po €46,50 za sztukę i 40 000 obligacji notowanych po €1 020 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4,5%, a stopa podatkowa 25,8%. Współczynnik beta akcji to 1,8, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a stopa zwrotu z rynku 8,5%. Wyznacz WACC.
β = 1,8rf = 1,5%rm = 8,5%rd = 4,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Analiza progu rentownościŚredni
Produkt sprzedaje się po €22 za sztukę przy koszcie zmiennym €12 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €25 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €2 000?
F = €25 000p = €22v = €12zysk = €2 000
Q = szt.
10.Analiza progu rentownościTrudny
Firma sprzedaje 4 000 sztuk po €49 za sztukę, przy koszcie zmiennym €45 na sztukę i kosztach stałych €8 000. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży spadnie o 12 %?
Q = 4 000p = €49v = €45F = €8 000%ΔQ = −12%
%ΔΠ = %
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 3996 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca rocznych przepływów
16 000·3,465 = 55 441,69
Wartość bieżąca wartości końcowej
9 000/1,262 = 7 128,84
NPV
NPV = −60 000 + 55 441,69 + 7 128,84 = €2 570,53
Odpowiedź
NPV = €2 570,53
4.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 7350 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: ΔP = 62,09 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€930 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Rozwiąż numerycznie
P(7%) = €952,33, P(8%) = €907,54
YTM = 7,491%
Odpowiedź
YTM = 7,491%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,817 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).
Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.