Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 3 lat potrzebujesz €15 000. Konto daje 6 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €15 0006% / 4n = 3

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €50 na koniec każdego miesiąca przez 14 lat. Konto daje 7,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €507,2% / 12N = 168

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €50 000, działa przez 7 lat, a jej eksploatacja kosztuje €3 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.

C₀ = €50 000M = €3 000n = 7r = 5%

EAC = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €7 500, €5 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 500CF₂ = 5 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% i zapada za 5 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 3% na 5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 8%n = 5y₁ = 3%y₂ = 5%

ΔP = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 11 lat. Kosztuje €1 204. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.

F = €1 000kupon = 8% (2×)n = 11P = €1 204

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €4 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 8%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.

E = €4 000 000D = €1 000 000r_e = 8%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 4 000 000 akcji po €57,50 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €1 050 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 6%, a stopa podatkowa 25,8%. Współczynnik beta akcji to 1,8, stopa wolna od ryzyka 2%, a stopa zwrotu z rynku 8%. Wyznacz WACC.

β = 1,8r_f = 2%r_m = 8%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt można wytwarzać na dwa sposoby. Metoda A ma koszty stałe €25 000 rocznie i koszt zmienny €20 na sztukę. Bardziej zautomatyzowana metoda B ma koszty stałe €27 000 rocznie i koszt zmienny €18 na sztukę. Przy jakiej rocznej wielkości produkcji Q obie metody kosztują tyle samo?

F_A = €25 000v_A = €20F_B = €27 000v_B = €18

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 10 000 sztuk po €18 za sztukę, przy koszcie zmiennym €15 na sztukę i kosztach stałych €15 000. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży spadnie o 10 %?

Q = 10 000p = €18v = €15F = €15 000%ΔQ = −10%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 12546 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,06/4 = 0,015

N = 4·3 = 12

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,196 = €12 545,81

Odpowiedź

PV = €12 545,81

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 14432 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·14 = 168

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(2,732 − 1)/0,006 = €14 432,29

Odpowiedź

FV = €14 432,29

Sam wpłaciłeś €8 400; reszta to odsetki.

3.NPV i IRR

Odpowiedź: EAC = 11641 €

Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − 1,05⁻⁷)/0,05 = 5,786

Zannualizowana cena zakupu

50 000/5,786 = 8 640,99

EAC

EAC = 8 640,99 + 3 000 = €11 640,99

Odpowiedź

EAC = €11 640,99

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 20,6 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(20%) = 69,44

NPV(25%) = −480,00

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 20 + 5·69,44/(69,44 − (−480,00)) = 20,63%

dokładnie: NPV(20,6%) = 0 → IRR = 20,6%

Odpowiedź

IRR = 20,6%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = −99,1 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €80,00, i = 0,03, N = 5

€80,00·(1 − 0,8626)/0,03 + €1 000·0,8626 = €366,38 + €862,61 = €1 228,99

Cena przy nowej rentowności

C = €80,00, i = 0,05, N = 5

€80,00·(1 − 0,7835)/0,05 + €1 000·0,7835 = €346,36 + €783,53 = €1 129,88

Zmiana

ΔP = 1 129,88 − 1 228,99 = −€99,10

Odpowiedź

ΔP = −€99,10

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 5,503 %

Na okres

C = €40,00, N = 22

Rozwiąż numerycznie

i = 2,752% na półrocze

YTM

YTM = 2·2,752% = 5,503%

Odpowiedź

YTM = 5,503%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,506 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

WACC

WACC = 0,8·8% + 0,2·7%·(1 − 0,21) = 7,506%

Odpowiedź

WACC = 7,506%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 12,61 %

Wartości rynkowe

E = 4 000 000·€57,50 = €230 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2% + 1,8·6% = 12,8%

Wagi

V = €235 250 000, E/V = 0,9777, D/V = 0,02232

WACC

WACC = 0,9777·12,8% + 0,02232·6%·(1 − 0,258) = 12,61%

Odpowiedź

WACC = 12,61%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 1000 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Równe koszty całkowite

25 000 + 20Q = 27 000 + 18Q

Wyznacz Q

Q = (27 000 − 25 000)/(20 − 18) = 1 000

Odpowiedź

Q = 1 000 szt.

Poniżej tej wielkości tańsza jest metoda A; powyżej tańsza jest zautomatyzowana metoda B.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = −20 %

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Marża pokrycia i zysk

CM = 10 000·3 = €30 000

Π = 30 000 − 15 000 = €15 000

DOL

DOL = 30 000/15 000 = 2

Zmiana zysku

%ΔΠ = 2·(−10%) = −20%

Odpowiedź

%ΔΠ = −20%

Sprawdzenie: nowy zysk = 9 000·3 − 15 000 = €12 000,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance