W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Inwestujesz €5 000 przy stopie 6 % rocznie z kapitalizacją ciągłą. Wyznacz wartość FV po 19 latach.
PV = €5 000r = 6%t = 19
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Pożyczasz €8 000 przy 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €150 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.
P = €8 000A = €1506% / 12
N = raty
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €50 000 i przynosi €17 500 na koniec każdego roku przez 5 lat. Koszt kapitału wynosi 5 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.
Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €12 500, €9 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −20 000CF1 = 12 500CF2 = 9 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 6 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 8%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 9%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 8%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 8%n = 6y0 = 9%y1 = 8%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% i zapada za 3 lat. Rentowność do wykupu wynosi 2,5%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.
F = €1 000kupon = 4%n = 3YTM = 2,5%
D = lata
7.CAPM i WACCŚredni
Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €10 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €500 000 i długiem o wartości €4 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt akcji uprzywilejowanych 6%, a koszt długu przed opodatkowaniem 5%. Stawka podatku wynosi 25%. Wyznacz WACC.
Spółka ma 2 000 000 akcji po €28,50 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 6%, a stopa podatkowa 30%. Współczynnik beta akcji to 0,6, stopa wolna od ryzyka 1%, a stopa zwrotu z rynku 7,5%. Wyznacz WACC.
β = 0,6rf = 1%rm = 7,5%rd = 6%T = 30%
WACC = %
9.Analiza progu rentownościŚredni
Firma sprzedaje 2 250 sztuk po €55 za sztukę. Koszt zmienny wynosi €45 na sztukę, a koszty stałe €15 000. Wyznacz stopień dźwigni operacyjnej DOL przy tym poziomie sprzedaży.
Q = 2 250p = €55v = €45F = €15 000
DOL =
10.Analiza progu rentownościTrudny
Firma sprzedaje dwa produkty. Produkt A sprzedaje się po €11 przy koszcie zmiennym €8; produkt B po €28 przy koszcie zmiennym €20. Sprzedają się w stałej strukturze: 3 sztuk A na każde 1 sztuk B. Koszty stałe wynoszą €6 800 miesięcznie. Wyznacz łączną liczbę sztuk Q (A i B razem) potrzebną do osiągnięcia progu rentowności.
pA = €11, vA = €8pB = €28, vB = €20A : B = 3 : 1F = €6 800
Q = szt.
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 15634 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wykładnik
r·t = 0,06·19 = 1,14
e1,14 = 3,127
Wartość przyszła
FV = 5 000·3,127 = €15 633,84
Odpowiedź
FV = €15 633,84
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: N = 63 raty
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Przekształć wzór na rentę
i = 0,005
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0,005/150 = 0,7333
Rozwiąż za pomocą logarytmów
N = −ln(0,7333)/ln(1,005) = 62,19
Zaokrąglij w górę do pełnych rat
62 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.
N = 63
Odpowiedź
N = 63 raty
3.NPV i IRR
Odpowiedź: DPB = 3,163 lata
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Przepływy zdyskontowane i skumulowane
rok 1: 17 500/1,05 = 16 666,67 → Σ = 16 666,67
rok 2: 17 500/1,103 = 15 873,02 → Σ = 32 539,68
rok 3: 17 500/1,158 = 15 117,16 → Σ = 47 656,84
rok 4: 17 500/1,216 = 14 397,29 → Σ = 62 054,13
Ułamek ostatniego roku
DPB = 3 + 2 343,16/14 397,29 = 3,163
Odpowiedź
DPB = 3,163 lata
Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (2,857 lat).
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 5,254 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(5%) = 68,03
NPV(10%) = −1 198,35
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
IRR ≈ 5 + 5·68,03/(68,03 − (−1 198,35)) = 5,269%
dokładnie: NPV(5,254%) = 0 → IRR = 5,254%
Odpowiedź
IRR = 5,254%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: HPR = 13,07 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Wartość bieżąca każdego przepływu
t = 1: 40/1,025 = 39,02, t·PV = 39,02
t = 2: 40/1,051 = 38,07, t·PV = 76,15
t = 3: 1040/1,077 = 965,74, t·PV = 2 897,23
Duration
P = 1 042,84
D = 3 012,40/1 042,84 = 2,889
Odpowiedź
D = 2,889 lata
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,138 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.
Całkowita marża pokrycia
CM = 2 250·(55 − 45) = €22 500
Zysk operacyjny
Π = 22 500 − 15 000 = €7 500
DOL
DOL = 22 500/7 500 = 3
Odpowiedź
DOL = 3
10.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: Q = 1600 szt.
Próg rentowności przy strukturze sprzedaży: gdy produkty sprzedają się w stałej proporcji, użyj średniej ważonej marży pokrycia: zważ p − v każdego produktu jego udziałem w liczbie sztuk. Liczba sztuk w progu rentowności = F/(ważona marża pokrycia), a potem podziel ją ponownie według struktury sprzedaży.