Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €1 000 przy stopie 6 % rocznie z kapitalizacją ciągłą. Wyznacz wartość FV po 2 latach.

PV = €1 000r = 6%t = 2

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €100 na koniec każdego miesiąca przez 17 lat. Konto daje 6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €1006% / 12N = 204

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €20 000 i przynosi €5 000, €4 000, €6 000, €5 000, €5 500 na koniec lat od 1 do 5. Koszt kapitału wynosi 8 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 4 000CF₃ = 6 000CF₄ = 5 000CF₅ = 5 500

DPB = lata

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €28 000, €18 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −40 000CF₁ = 28 000CF₂ = 18 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Kupujesz obligację z 3 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 4,5%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 2,5%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 3%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.

F = €1 000kupon = 4,5%n = 3y₀ = 2,5%y₁ = 3%

HPR = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 6% zostanie wykupiona po 8 latach, a jej cena wynosi €1 100. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 6%n = 8P = €1 100

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 1. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stawka podatku 21%. Wyznacz WACC.

D/E = 1r_e = 11%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 2 000 000 akcji po €40,50 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €980 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3,5%, a stopa podatkowa 25,8%. Współczynnik beta akcji to 1,3, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a stopa zwrotu z rynku 10,5%. Wyznacz WACC.

β = 1,3r_f = 3,5%r_m = 10,5%r_d = 3,5%T = 25,8%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Firma sprzedaje 15 000 sztuk po €12 za sztukę. Koszt zmienny wynosi €4 na sztukę, a koszty stałe €40 000. Wyznacz stopień dźwigni operacyjnej DOL przy tym poziomie sprzedaży.

Q = 15 000p = €12v = €4F = €40 000

DOL =

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje dwa produkty. Produkt A sprzedaje się po €10 przy koszcie zmiennym €5; produkt B po €40 przy koszcie zmiennym €30. Sprzedają się w stałej strukturze: 4 sztuk A na każde 1 sztuk B. Koszty stałe wynoszą €12 000 miesięcznie. Wyznacz łączną liczbę sztuk Q (A i B razem) potrzebną do osiągnięcia progu rentowności.

p_A = €10, v_A = €5p_B = €40, v_B = €30A : B = 4 : 1F = €12 000

Q = szt.

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 1127 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Wykładnik

r·t = 0,06·2 = 0,12

e^0,12 = 1,127

Wartość przyszła

FV = 1 000·1,127 = €1 127,50

Odpowiedź

FV = €1 127,50

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 35323 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·17 = 204

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(2,766 − 1)/0,005 = €35 323,11

Odpowiedź

FV = €35 323,11

Sam wpłaciłeś €20 400; reszta to odsetki.

3.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 4,936 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 5 000/1,08 = 4 629,63 → Σ = 4 629,63

rok 2: 4 000/1,166 = 3 429,36 → Σ = 8 058,98

rok 3: 6 000/1,26 = 4 762,99 → Σ = 12 821,98

rok 4: 5 000/1,36 = 3 675,15 → Σ = 16 497,13

rok 5: 5 500/1,469 = 3 743,21 → Σ = 20 240,34

Ułamek ostatniego roku

DPB = 4 + 3 502,87/3 743,21 = 4,936

Odpowiedź

DPB = 4,936 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (4 lat).

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 11,49 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(10%) = 743,80

NPV(15%) = −1 663,52

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 10 + 5·743,80/(743,80 − (−1 663,52)) = 11,54%

dokładnie: NPV(11,49%) = 0 → IRR = 11,49%

Odpowiedź

IRR = 11,49%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: HPR = 1,569 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena zakupu

C = €45,00, i = 0,025, N = 3

€45,00·(1 − 0,9286)/0,025 + €1 000·0,9286 = €128,52 + €928,60 = €1 057,12

Cena sprzedaży

C = €45,00, i = 0,03, N = 2

€45,00·(1 − 0,9426)/0,03 + €1 000·0,9426 = €86,11 + €942,60 = €1 028,70

Stopa zwrotu z okresu posiadania

HPR = (45 + 1 028,70 − 1 057,12)/1 057,12 = 1,569%

Odpowiedź

HPR = 1,569%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 4,485 %

Równanie dla rentowności

€1 100 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Rozwiąż numerycznie

P(4%) = €1 134,65, P(5%) = €1 064,63

YTM = 4,485%

Odpowiedź

YTM = 4,485%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,265 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi z D/E

E/V = 1/(1 + 1) = 0,5

D/V = 1/(1 + 1) = 0,5

WACC

WACC = 0,5·11% + 0,5·7%·(1 − 0,21) = 8,265%

Odpowiedź

WACC = 8,265%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 11,52 %

Wartości rynkowe

E = 2 000 000·€40,50 = €81 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,3·7% = 12,6%

Wagi

V = €90 800 000, E/V = 0,8921, D/V = 0,1079

WACC

WACC = 0,8921·12,6% + 0,1079·3,5%·(1 − 0,258) = 11,52%

Odpowiedź

WACC = 11,52%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: DOL = 1,5

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Całkowita marża pokrycia

CM = 15 000·(12 − 4) = €120 000

Zysk operacyjny

Π = 120 000 − 40 000 = €80 000

DOL

DOL = 120 000/80 000 = 1,5

Odpowiedź

DOL = 1,5

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 2000 szt.

Próg rentowności przy strukturze sprzedaży: gdy produkty sprzedają się w stałej proporcji, użyj średniej ważonej marży pokrycia: zważ p − v każdego produktu jego udziałem w liczbie sztuk. Liczba sztuk w progu rentowności = F/(ważona marża pokrycia), a potem podziel ją ponownie według struktury sprzedaży.

Marże pokrycia

cm_A = €5, cm_B = €10

Ważona marża pokrycia

(4·5 + 1·10)/5 = €6,00

Liczba sztuk w progu rentowności

Q = 12 000/6 = 2 000

A: 1 600, B: 400

Odpowiedź

Q = 2 000 szt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance