Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €2 000 przy stopie 7 % rocznie z kapitalizacją ciągłą. Wyznacz wartość FV po 7 latach.

PV = €2 000r = 7%t = 7

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €100 na koniec każdego miesiąca przez 27 lat. Konto daje 3,6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €1003,6% / 12N = 324

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €60 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €30 000, €23 000, €19 000. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 30 000CF₂ = 23 000CF₃ = 19 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €18 500, €15 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 500CF₂ = 15 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% i zapada za 9 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 4% na 2,5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 5%n = 9y₁ = 4%y₂ = 2,5%

ΔP = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 5% zostanie wykupiona po 6 latach, a jej cena wynosi €1 110. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 5%n = 6P = €1 110

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €12 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.

E = €12 000 000D = €1 000 000r_e = 13%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 1 000 000 akcji po €21,50 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3,5%, a stopa podatkowa 20%. Współczynnik beta akcji to 1,3, stopa wolna od ryzyka 4%, a stopa zwrotu z rynku 8,5%. Wyznacz WACC.

β = 1,3r_f = 4%r_m = 8,5%r_d = 3,5%T = 20%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt można wytwarzać na dwa sposoby. Metoda A ma koszty stałe €30 000 rocznie i koszt zmienny €10 na sztukę. Bardziej zautomatyzowana metoda B ma koszty stałe €45 000 rocznie i koszt zmienny €7 na sztukę. Przy jakiej rocznej wielkości produkcji Q obie metody kosztują tyle samo?

F_A = €30 000v_A = €10F_B = €45 000v_B = €7

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 7 500 sztuk po €30 za sztukę, przy koszcie zmiennym €20 na sztukę i kosztach stałych €50 000. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży spadnie o 15 %?

Q = 7 500p = €30v = €20F = €50 000%ΔQ = −15%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 3265 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Wykładnik

r·t = 0,07·7 = 0,49

e^0,49 = 1,632

Wartość przyszła

FV = 2 000·1,632 = €3 264,63

Odpowiedź

FV = €3 264,63

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 54646 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·27 = 324

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(2,639 − 1)/0,003 = €54 646,08

Odpowiedź

FV = €54 646,08

Sam wpłaciłeś €32 400; reszta to odsetki.

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 556 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 30 000/1,1 = 27 272,73

CF₂/(1 + 0,1)² = 23 000/1,21 = 19 008,26

CF₃/(1 + 0,1)³ = 19 000/1,331 = 14 274,98

Zsumuj

NPV = €555,97

Odpowiedź

NPV = €555,97

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 22,84 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(20%) = 833,33

NPV(25%) = −600,00

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 20 + 5·833,33/(833,33 − (−600,00)) = 22,91%

dokładnie: NPV(22,84%) = 0 → IRR = 22,84%

Odpowiedź

IRR = 22,84%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = 124,9 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €50,00, i = 0,04, N = 9

€50,00·(1 − 0,7026)/0,04 + €1 000·0,7026 = €371,77 + €702,59 = €1 074,35

Cena przy nowej rentowności

C = €50,00, i = 0,025, N = 9

€50,00·(1 − 0,8007)/0,025 + €1 000·0,8007 = €398,54 + €800,73 = €1 199,27

Zmiana

ΔP = 1 199,27 − 1 074,35 = €124,92

Odpowiedź

ΔP = €124,92

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 2,971 %

Równanie dla rentowności

€1 110 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Rozwiąż numerycznie

P(2%) = €1 168,04, P(3%) = €1 108,34

YTM = 2,971%

Odpowiedź

YTM = 2,971%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 12,36 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €13 000 000, E/V = 0,9231, D/V = 0,07692

WACC

WACC = 0,9231·13% + 0,07692·6%·(1 − 0,21) = 12,36%

Odpowiedź

WACC = 12,36%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,52 %

Wartości rynkowe

E = 1 000 000·€21,50 = €21 500 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 4% + 1,3·4,5% = 9,85%

Wagi

V = €26 500 000, E/V = 0,8113, D/V = 0,1887

WACC

WACC = 0,8113·9,85% + 0,1887·3,5%·(1 − 0,2) = 8,52%

Odpowiedź

WACC = 8,52%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 5000 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Równe koszty całkowite

30 000 + 10Q = 45 000 + 7Q

Wyznacz Q

Q = (45 000 − 30 000)/(10 − 7) = 5 000

Odpowiedź

Q = 5 000 szt.

Poniżej tej wielkości tańsza jest metoda A; powyżej tańsza jest zautomatyzowana metoda B.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = −45 %

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Marża pokrycia i zysk

CM = 7 500·10 = €75 000

Π = 75 000 − 50 000 = €25 000

DOL

DOL = 75 000/25 000 = 3

Zmiana zysku

%ΔΠ = 3·(−15%) = −45%

Odpowiedź

%ΔΠ = −45%

Sprawdzenie: nowy zysk = 6 375·10 − 50 000 = €13 750,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance