W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Inwestujesz €8 000 przy nominalnej stopie 2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 6 latach.
PV = €8 0002% / 12n = 6
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Odkładasz €200 na koniec każdego miesiąca przez 5 lat. Konto daje 3 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.
A = €2003% / 12N = 60
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €30 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €11 000, €11 000, €10 000. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €13 000, €8 500, €15 000 na koniec lat od 1 do 3. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 10 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 4 latach. Rentowność do wykupu wynosi 9% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 3%YTM = 9%n = 4
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja z 11 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 7%) kosztuje €1 079. Emitent może ją wykupić przed terminem za 6 lat po cenie wykupu €1 070. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.
F = €1 000kupon = 7%P = €1 079cena wcześniejszego wykupu = €1 070wcześniejszy wykup za 6 lata
YTC = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,75. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stawka podatku 20%. Wyznacz WACC.
D/E = 0,75re = 11%rd = 4%T = 20%
WACC = %
8.CAPM i WACCTrudny
Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 1. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,5. Stawka podatku wynosi 25%, stopa wolna od ryzyka 1%, a rynkowa premia za ryzyko 4%. Wyznacz koszt kapitału własnego re przy nowej strukturze kapitału.
βU = 1D/E = 0,5T = 25%rf = 1%rm − rf = 4%
re = %
9.Analiza progu rentownościŚredni
Produkt sprzedaje się po €27 przy koszcie zmiennym €12 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €30 000 miesięcznie, a zysk jest opodatkowany stawką 25 %. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby zarobić €9 000 po opodatkowaniu?
p = €27v = €12F = €30 000T = 25%zysk po opodatkowaniu = €9 000
Q = szt.
10.Analiza progu rentownościTrudny
Firma sprzedaje miesięcznie 1 800 sztuk po €35 za sztukę, przy koszcie zmiennym €25 na sztukę i kosztach stałych €12 000 miesięcznie. Koszt zmienny rośnie o €1 na sztukę, a cena pozostaje bez zmian. Ile sztuk Q trzeba teraz sprzedawać miesięcznie, aby utrzymać ten sam zysk?
Q = 1 800p = €35v = €25 → €26F = €12 000
Q = szt.
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 9019 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 11 000/1,08 = 10 185,19
CF2/(1 + 0,08)2 = 11 000/1,166 = 9 430,73
CF3/(1 + 0,08)3 = 10 000/1,26 = 7 938,32
Zsumuj
NPV = €−2 445,77
Odpowiedź
NPV = €−2 445,77
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: MIRR = 17,04 %
Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Wartość końcowa wpływów
13 000·1,12 = 15 730,00
8 500·1,11 = 9 350,00
15 000·1,10 = 15 000,00
TV = 40 080,00
MIRR
MIRR = (40 080,00/25 000)1/3 − 1 = 17,04%
Odpowiedź
MIRR = 17,04%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 802,1 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €15,00, i = 0,045, N = 8
Wartość bieżąca kuponów
€15,00·(1 − 0,7032)/0,045 = €98,94
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,7032 = €703,19
Cena
P = €802,12
Odpowiedź
P = €802,12
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTC = 6,369 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
1079 = 70·(1 − (1 + y)−6)/y + 1070/(1 + y)6
Rozwiąż numerycznie
y = 6%: €1 098,52
y = 7%: €1 046,64
YTC = 6,369%
Odpowiedź
YTC = 6,369%
Rentowność do wykupu wynosi 5,998%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,657 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi z D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·11% + 0,4286·4%·(1 − 0,2) = 7,657%
Odpowiedź
WACC = 7,657%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 6,5 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Beta lewarowana
βL = 1·(1 + 0,75·0,5) = 1,375
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 1% + 1,375·4% = 6,5%
Odpowiedź
re = 6,5%
9.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: Q = 2800 szt.
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).
Potrzebny zysk przed opodatkowaniem
9 000/(1 − 0,25) = €12 000
Potrzebna liczba sztuk
Q = (30 000 + 12 000)/15 = 2 800
Odpowiedź
Q = 2 800 szt.
10.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: Q = 2000 szt.
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).