W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Inwestujesz €3 000 przy nominalnej stopie 5 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 10 latach.
PV = €3 0005% / 4n = 10
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €200 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 30 lat przy 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?
P = €200 0004,8% / 12N = 360
I = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €250 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €8 000, a potem przepływ rośnie o 4 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €250 000CF1 = €8 000g = 4%r = 8%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €9 000, €14 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 14 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 10 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 3%YTM = 3,5%n = 10
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4,5% i zapada za 6 lat. Rentowność do wykupu wynosi 3,5%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.
F = €1 000kupon = 4,5%n = 6YTM = 3,5%
D = lata
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,25. Jej koszt kapitału własnego wynosi 8%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stawka podatku 25%. Wyznacz WACC.
D/E = 0,25re = 8%rd = 7%T = 25%
WACC = %
8.CAPM i WACCTrudny
Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €6 000 000 i koszcie 12%. Jej dług stanowi 8 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 6%, 12 lat do wykupu), notowanych po €1 137 za sztukę. Stawka podatku wynosi 20%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.
Produkt można wytwarzać na dwa sposoby. Metoda A ma koszty stałe €30 000 rocznie i koszt zmienny €18 na sztukę. Bardziej zautomatyzowana metoda B ma koszty stałe €34 000 rocznie i koszt zmienny €13 na sztukę. Przy jakiej rocznej wielkości produkcji Q obie metody kosztują tyle samo?
FA = €30 000vA = €18FB = €34 000vB = €13
Q = szt.
10.Analiza progu rentownościTrudny
Firma sprzedaje dwa produkty. Produkt A sprzedaje się po €9 przy koszcie zmiennym €5; produkt B po €32 przy koszcie zmiennym €20. Sprzedają się w stałej strukturze: 3 sztuk A na każde 1 sztuk B. Koszty stałe wynoszą €7 200 miesięcznie. Wyznacz łączną liczbę sztuk Q (A i B razem) potrzebną do osiągnięcia progu rentowności.
pA = €9, vA = €5pB = €32, vB = €20A : B = 3 : 1F = €7 200
Q = szt.
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 4931 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość przepływów
PV = 8 000/(0,08 − 0,04) = 200 000,00
NPV
NPV = 200 000,00 − 250 000 = −€50 000,00
Odpowiedź
NPV = −€50 000,00
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 9,139 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(5%) = 1 269,84
NPV(10%) = −247,93
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €15,00, i = 0,0175, N = 20
Wartość bieżąca kuponów
€15,00·(1 − 0,7068)/0,0175 = €251,29
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,7068 = €706,82
Cena
P = €958,12
Odpowiedź
P = €958,12
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: D = 5,408 lata
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Wartość bieżąca każdego przepływu
t = 1: 45/1,035 = 43,48, t·PV = 43,48
t = 2: 45/1,071 = 42,01, t·PV = 84,02
t = 3: 45/1,109 = 40,59, t·PV = 121,76
t = 4: 45/1,148 = 39,21, t·PV = 156,86
t = 5: 45/1,188 = 37,89, t·PV = 189,44
t = 6: 1045/1,229 = 850,11, t·PV = 5 100,65
Duration
P = 1 053,29
D = 5 696,21/1 053,29 = 5,408
Odpowiedź
D = 5,408 lata
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,45 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi z D/E
E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8
D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2
WACC
WACC = 0,8·8% + 0,2·7%·(1 − 0,25) = 7,45%
Odpowiedź
WACC = 7,45%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 6,938 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).
Równe koszty całkowite
30 000 + 18Q = 34 000 + 13Q
Wyznacz Q
Q = (34 000 − 30 000)/(18 − 13) = 800
Odpowiedź
Q = 800 szt.
Poniżej tej wielkości tańsza jest metoda A; powyżej tańsza jest zautomatyzowana metoda B.
10.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: Q = 1200 szt.
Próg rentowności przy strukturze sprzedaży: gdy produkty sprzedają się w stałej proporcji, użyj średniej ważonej marży pokrycia: zważ p − v każdego produktu jego udziałem w liczbie sztuk. Liczba sztuk w progu rentowności = F/(ważona marża pokrycia), a potem podziel ją ponownie według struktury sprzedaży.