Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Renta wypłaca €5 000 na koniec każdego roku przez 5 lat. Stopa procentowa wynosi 7 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.

A = €5 000i = 7%n = 5

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Pożyczasz €15 000 przy 7,2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €225 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.

P = €15 000A = €2257,2% / 12

N = raty

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €10 000, €15 000, €11 000, €21 000. Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 5%CF₀ = −45 000CF₁ = 10 000CF₂ = 15 000CF₃ = 11 000CF₄ = 21 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje dziś €50 000. Jego przepływ wynosi €5 000 na koniec roku 1 i rośnie o 2 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 9. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €5 000g = 2%n = 9r = 12%

NPV = €

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 9 latach. Rentowność do wykupu wynosi 7% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 8%YTM = 7%n = 9

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% i zapada za 6 lat. Rentowność do wykupu wynosi 4%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 8%n = 6YTM = 4%

D = lata

7.CAPM i WACCŚredni

Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,75. Jej koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stawka podatku 30%. Wyznacz WACC.

D/E = 0,75r_e = 10%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Akcje firmy mają betę 1,5 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,25. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 0,6. Stawka podatku wynosi 30%, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a rynkowa premia za ryzyko 5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e po zmianie.

β_L = 1,5D/E₁ = 0,25D/E₂ = 0,6T = 30%r_f = 3,5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt można wytwarzać na dwa sposoby. Metoda A ma koszty stałe €20 000 rocznie i koszt zmienny €12 na sztukę. Bardziej zautomatyzowana metoda B ma koszty stałe €50 000 rocznie i koszt zmienny €6 na sztukę. Przy jakiej rocznej wielkości produkcji Q obie metody kosztują tyle samo?

F_A = €20 000v_A = €12F_B = €50 000v_B = €6

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 2 400 sztuk po €30 za sztukę, przy koszcie zmiennym €15 na sztukę i kosztach stałych €22 500. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży spadnie o 20 %?

Q = 2 400p = €30v = €15F = €22 500%ΔQ = −20%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 20501 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,713)/0,07 = 4,1

Wartość bieżąca

PV = 5 000·4,1 = €20 500,99

Odpowiedź

PV = €20 500,99

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: N = 86 raty

Przekształć wzór na rentę

i = 0,006

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0,006/225 = 0,6

Rozwiąż za pomocą logarytmów

N = −ln(0,6)/ln(1,006) = 85,39

Zaokrąglij w górę do pełnych rat

85 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.

N = 86

Odpowiedź

N = 86 raty

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 4908 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 10 000/1,05 = 9 523,81

CF₂/(1 + 0,05)² = 15 000/1,103 = 13 605,44

CF₃/(1 + 0,05)³ = 11 000/1,158 = 9 502,21

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 21 000/1,216 = 17 276,75

Zsumuj

NPV = €4 908,22

Odpowiedź

NPV = €4 908,22

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −21548 €

Wartość bieżąca renty rosnącej

((1,02)/(1,12))⁹ = 0,431

PV = 5 000/(0,12 − 0,02)·(1 − 0,431) = 28 451,88

NPV

NPV = 28 451,88 − 50 000 = −€21 548,12

Odpowiedź

NPV = −€21 548,12

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1066 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €40,00, i = 0,035, N = 18

Wartość bieżąca kuponów

€40,00·(1 − 0,5384)/0,035 = €527,59

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,5384 = €538,36

Cena

P = €1 065,95

Odpowiedź

P = €1 065,95

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 5,094 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 80/1,04 = 76,92, t·PV = 76,92

t = 2: 80/1,082 = 73,96, t·PV = 147,93

t = 3: 80/1,125 = 71,12, t·PV = 213,36

t = 4: 80/1,17 = 68,38, t·PV = 273,54

t = 5: 80/1,217 = 65,75, t·PV = 328,77

t = 6: 1080/1,265 = 853,54, t·PV = 5 121,24

Duration

P = 1 209,69

D = 6 161,76/1 209,69 = 5,094

Odpowiedź

D = 5,094 lata

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,614 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi z D/E

E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714

D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·10% + 0,4286·3%·(1 − 0,3) = 6,614%

Odpowiedź

WACC = 6,614%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 12,56 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Usuń dźwignię z bety

β_U = 1,5/(1 + 0,7·0,25) = 1,277

Zlewaruj ponownie przy nowym D/E

β_L = 1,277·(1 + 0,7·0,6) = 1,813

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,813·5% = 12,56%

Odpowiedź

r_e = 12,56%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 5000 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Równe koszty całkowite

20 000 + 12Q = 50 000 + 6Q

Wyznacz Q

Q = (50 000 − 20 000)/(12 − 6) = 5 000

Odpowiedź

Q = 5 000 szt.

Poniżej tej wielkości tańsza jest metoda A; powyżej tańsza jest zautomatyzowana metoda B.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = −53,33 %

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Marża pokrycia i zysk

CM = 2 400·15 = €36 000

Π = 36 000 − 22 500 = €13 500

DOL

DOL = 36 000/13 500 = 2,667

Zmiana zysku

%ΔΠ = 2,667·(−20%) = −53,33%

Odpowiedź

%ΔΠ = −53,33%

Sprawdzenie: nowy zysk = 1 920·15 − 22 500 = €6 300,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance