W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €8 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 3 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 7 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €8 000g = 3%r = 7%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €15 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 5 lat przy 4,2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?
P = €15 0004,2% / 12N = 60
I = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €20 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €9 000, €5 000, €9 000, €9 000. Koszt kapitału wynosi 15 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €3 500, €4 500, €6 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −10 000CF1 = 3 500CF2 = 4 500CF3 = 6 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% i zapada za 11 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 6% na 4%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?
F = €1 000kupon = 8%n = 11y1 = 6%y2 = 4%
ΔP = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 6% zostanie wykupiona po 7 latach, a jej cena wynosi €920. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 6%n = 7P = €920
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €2 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 25,8%. Wyznacz WACC.
Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €6 000 000 i koszcie 12%. Jej dług stanowi 2 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 4%, 11 lat do wykupu), notowanych po €1 143 za sztukę. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.
Produkt można wytwarzać na dwa sposoby. Metoda A ma koszty stałe €15 000 rocznie i koszt zmienny €20 na sztukę. Bardziej zautomatyzowana metoda B ma koszty stałe €21 000 rocznie i koszt zmienny €17 na sztukę. Przy jakiej rocznej wielkości produkcji Q obie metody kosztują tyle samo?
FA = €15 000vA = €20FB = €21 000vB = €17
Q = szt.
10.Analiza progu rentownościTrudny
Produkt sprzedaje się po €30 za sztukę, przy koszcie zmiennym €20 na sztukę i kosztach stałych €10 000 rocznie. Planowana sprzedaż to 1 500 szt. Wyznacz margines bezpieczeństwa MS jako procent planowanej sprzedaży.
F = €10 000p = €30v = €20plan = 1 500
MS = %
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 200000 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Rata miesięczna
i = 0,0035, N = 60
A = 15 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)−60) = €277,60
Łączne odsetki
I = N·A − P = 60·277,6 − 15 000 = €1 656,22
Odpowiedź
I = €1 656,22
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 2670 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 9 000/1,15 = 7 826,09
CF2/(1 + 0,15)2 = 5 000/1,322 = 3 780,72
CF3/(1 + 0,15)3 = 9 000/1,521 = 5 917,65
CF4/(1 + 0,15)4 = 9 000/1,749 = 5 145,78
Zsumuj
NPV = €2 670,23
Odpowiedź
NPV = €2 670,23
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 18,86 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(15%) = 719,98
NPV(20%) = −196,76
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
IRR ≈ 15 + 5·719,98/(719,98 − (−196,76)) = 18,93%
dokładnie: NPV(18,86%) = 0 → IRR = 18,86%
Odpowiedź
IRR = 18,86%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: ΔP = 192,7 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€920 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Rozwiąż numerycznie
P(7%) = €946,11, P(8%) = €895,87
YTM = 7,511%
Odpowiedź
YTM = 7,511%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 6,079 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).
Równe koszty całkowite
15 000 + 20Q = 21 000 + 17Q
Wyznacz Q
Q = (21 000 − 15 000)/(20 − 17) = 2 000
Odpowiedź
Q = 2 000 szt.
Poniżej tej wielkości tańsza jest metoda A; powyżej tańsza jest zautomatyzowana metoda B.
10.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: MS = 33,33 %
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).