W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Za 7 lat potrzebujesz €50 000. Konto daje 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.
FV = €50 0006% / 12n = 7
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €200 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 20 lat. Oprocentowanie wynosi 4,8 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €200 0004,8% / 12N = 240
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €50 000, działa przez 8 lat, a jej eksploatacja kosztuje €4 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.
C0 = €50 000M = €4 000n = 8r = 8%
EAC = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €13 000, €11 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −20 000CF1 = 13 000CF2 = 11 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 12 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 4%YTM = 5%n = 12
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 3% zostanie wykupiona po 3 latach, a jej cena wynosi €1 060. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 3%n = 3P = €1 060
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €10 000 000 i dług o wartości €6 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stopa podatkowa 25%. Wyznacz WACC.
Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 1,2. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,6. Stawka podatku wynosi 28%, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a rynkowa premia za ryzyko 5%. Wyznacz koszt kapitału własnego re przy nowej strukturze kapitału.
βU = 1,2D/E = 0,6T = 28%rf = 1,5%rm − rf = 5%
re = %
9.Analiza progu rentownościŚredni
Firma sprzedaje 3 000 sztuk po €14 za sztukę. Koszt zmienny wynosi €8 na sztukę, a koszty stałe €6 000. Wyznacz stopień dźwigni operacyjnej DOL przy tym poziomie sprzedaży.
Q = 3 000p = €14v = €8F = €6 000
DOL =
10.Analiza progu rentownościTrudny
Firma sprzedaje miesięcznie 6 000 sztuk po €30 za sztukę, przy koszcie zmiennym €18 na sztukę i kosztach stałych €48 000 miesięcznie. Koszt zmienny rośnie o €2 na sztukę, a cena pozostaje bez zmian. Ile sztuk Q trzeba teraz sprzedawać miesięcznie, aby utrzymać ten sam zysk?
Q = 6 000p = €30v = €18 → €20F = €48 000
Q = szt.
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 32887 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa i liczba okresów
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·7 = 84
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,52 = €32 886,74
Odpowiedź
PV = €32 886,74
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 1298 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·20 = 240
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,3836
A = 200 000·0,004/(1 − 0,3836) = €1 297,91
Odpowiedź
A = €1 297,91
3.NPV i IRR
Odpowiedź: EAC = 12701 €
Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − 1,08−8)/0,08 = 5,747
Zannualizowana cena zakupu
50 000/5,747 = 8 700,74
EAC
EAC = 8 700,74 + 4 000 = €12 700,74
Odpowiedź
EAC = €12 700,74
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 13,47 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(10%) = 909,09
NPV(15%) = −378,07
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
IRR ≈ 10 + 5·909,09/(909,09 − (−378,07)) = 13,53%
dokładnie: NPV(13,47%) = 0 → IRR = 13,47%
Odpowiedź
IRR = 13,47%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 910,6 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €20,00, i = 0,025, N = 24
Wartość bieżąca kuponów
€20,00·(1 − 0,5529)/0,025 = €357,70
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,5529 = €552,88
Cena
P = €910,58
Odpowiedź
P = €910,58
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 0,9614 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€1 060 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Rozwiąż numerycznie
P(1%) = €1 058,82, P(1%) = €1 058,82
YTM = 0,9614%
Odpowiedź
YTM = 0,9614%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,938 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·10% + 0,375·6%·(1 − 0,25) = 7,938%
Odpowiedź
WACC = 7,938%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 10,09 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Beta lewarowana
βL = 1,2·(1 + 0,72·0,6) = 1,718
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 1,5% + 1,718·5% = 10,09%
Odpowiedź
re = 10,09%
9.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: DOL = 1,5
Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.
Całkowita marża pokrycia
CM = 3 000·(14 − 8) = €18 000
Zysk operacyjny
Π = 18 000 − 6 000 = €12 000
DOL
DOL = 18 000/12 000 = 1,5
Odpowiedź
DOL = 1,5
10.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: Q = 7200 szt.
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).