Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 5 lat potrzebujesz €50 000. Konto daje 4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €50 0004% / 12n = 5

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Za 18 lat chcesz mieć €20 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.

FV = €20 0006% / 12N = 216

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €16 000, €15 000, €15 000. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 8%CF₀ = −75 000CF₁ = 16 000CF₂ = 15 000CF₃ = 15 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €18 000, €17 500, €18 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 000CF₂ = 17 500CF₃ = 18 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 12 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 2%YTM = 3%n = 12

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 8 lat. Kosztuje €804. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.

F = €1 000kupon = 2% (2×)n = 8P = €804

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €4 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 8%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.

E = €4 000 000D = €2 000 000r_e = 8%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 4 000 000 akcji po €15,50 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4,5%, a stopa podatkowa 25,8%. Współczynnik beta akcji to 0,8, stopa wolna od ryzyka 1%, a stopa zwrotu z rynku 8%. Wyznacz WACC.

β = 0,8r_f = 1%r_m = 8%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €53 za sztukę przy koszcie zmiennym €45 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €16 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €6 000?

F = €16 000p = €53v = €45zysk = €6 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje dwa produkty. Produkt A sprzedaje się po €13 przy koszcie zmiennym €10; produkt B po €33 przy koszcie zmiennym €25. Sprzedają się w stałej strukturze: 3 sztuk A na każde 2 sztuk B. Koszty stałe wynoszą €25 000 miesięcznie. Wyznacz łączną liczbę sztuk Q (A i B razem) potrzebną do osiągnięcia progu rentowności.

p_A = €13, v_A = €10p_B = €33, v_B = €25A : B = 3 : 2F = €25 000

Q = szt.

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 40950 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,04/12 = 0,003333

N = 12·5 = 60

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,221 = €40 950,16

Odpowiedź

PV = €40 950,16

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 51,63 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·18 = 216

Wpłata

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 20 000·0,005/(2,937 − 1) = €51,63

Odpowiedź

A = €51,63

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −35418 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 16 000/1,08 = 14 814,81

CF₂/(1 + 0,08)² = 15 000/1,166 = 12 860,08

CF₃/(1 + 0,08)³ = 15 000/1,26 = 11 907,48

Zsumuj

NPV = €−35 417,62

Odpowiedź

NPV = €−35 417,62

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 50,38 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(50%) = 111,11

NPV(55%) = −1 269,34

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 50 + 5·111,11/(111,11 − (−1 269,34)) = 50,4%

dokładnie: NPV(50,38%) = 0 → IRR = 50,38%

Odpowiedź

IRR = 50,38%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 899,8 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €10,00, i = 0,015, N = 24

Wartość bieżąca kuponów

€10,00·(1 − 0,6995)/0,015 = €200,30

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,6995 = €699,54

Cena

P = €899,85

Odpowiedź

P = €899,85

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 5,003 %

Na okres

C = €10,00, N = 16

Rozwiąż numerycznie

i = 2,502% na półrocze

YTM

YTM = 2·2,502% = 5,003%

Odpowiedź

YTM = 5,003%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,177 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·8% + 0,3333·7%·(1 − 0,21) = 7,177%

Odpowiedź

WACC = 7,177%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,366 %

Wartości rynkowe

E = 4 000 000·€15,50 = €62 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1% + 0,8·7% = 6,6%

Wagi

V = €66 800 000, E/V = 0,9281, D/V = 0,07186

WACC

WACC = 0,9281·6,6% + 0,07186·4,5%·(1 − 0,258) = 6,366%

Odpowiedź

WACC = 6,366%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 2750 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Jednostkowa marża pokrycia

p − v = 53 − 45 = €8

Sztuki dla docelowego zysku

Q = (F + zysk)/(p − v) = (16 000 + 6 000)/8 = 2 750

Odpowiedź

Q = 2 750 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 5000 szt.

Próg rentowności przy strukturze sprzedaży: gdy produkty sprzedają się w stałej proporcji, użyj średniej ważonej marży pokrycia: zważ p − v każdego produktu jego udziałem w liczbie sztuk. Liczba sztuk w progu rentowności = F/(ważona marża pokrycia), a potem podziel ją ponownie według struktury sprzedaży.

Marże pokrycia

cm_A = €3, cm_B = €8

Ważona marża pokrycia

(3·3 + 2·8)/5 = €5,00

Liczba sztuk w progu rentowności

Q = 25 000/5 = 5 000

A: 3 000, B: 2 000

Odpowiedź

Q = 5 000 szt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance