Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €12 000 przy nominalnej stopie 2 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 9 latach.

PV = €12 0002% / 4n = 9

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €12 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 3 lat. Oprocentowanie wynosi 2,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €12 0002,4% / 12N = 36

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €37 000, €19 000, €28 000. Koszt kapitału wynosi 9 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 37 000CF₂ = 19 000CF₃ = 28 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €27 000, €27 500, €29 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −40 000CF₁ = 27 000CF₂ = 27 500CF₃ = 29 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 8 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 3%YTM = 5%n = 8

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% i zapada za 5 lat. Rentowność do wykupu wynosi 6%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 5%n = 5YTM = 6%

D = lata

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €12 000 000 i dług o wartości €4 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 4,5%, a stopa podatkowa 20%. Wyznacz WACC.

E = €12 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 1 000 000 akcji po €14,00 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €1 050 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3%, a stopa podatkowa 30%. Współczynnik beta akcji to 0,6, stopa wolna od ryzyka 3%, a stopa zwrotu z rynku 7%. Wyznacz WACC.

β = 0,6r_f = 3%r_m = 7%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €28 za sztukę przy koszcie zmiennym €8 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €40 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €10 000?

F = €40 000p = €28v = €8zysk = €10 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 5 000 sztuk po €33 za sztukę, przy koszcie zmiennym €30 na sztukę i kosztach stałych €6 000. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży wzrośnie o 10 %?

Q = 5 000p = €33v = €30F = €6 000%ΔQ = +10%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 14360 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,02/4 = 0,005

N = m·n = 4·9 = 36

Wartość przyszła

FV = 12 000·(1 + 0,005)³⁶ = 12 000·1,197 = €14 360,17

Odpowiedź

FV = €14 360,17

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 345,8 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·3 = 36

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,9306

A = 12 000·0,002/(1 − 0,9306) = €345,81

Odpowiedź

A = €345,81

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −3442 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 37 000/1,09 = 33 944,95

CF₂/(1 + 0,09)² = 19 000/1,188 = 15 991,92

CF₃/(1 + 0,09)³ = 28 000/1,295 = 21 621,14

Zsumuj

NPV = €−3 441,99

Odpowiedź

NPV = €−3 441,99

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 47,79 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(45%) = 1 376,85

NPV(50%) = −1 037,04

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 45 + 5·1 376,85/(1 376,85 − (−1 037,04)) = 47,85%

dokładnie: NPV(47,79%) = 0 → IRR = 47,79%

Odpowiedź

IRR = 47,79%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 869,4 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €15,00, i = 0,025, N = 16

Wartość bieżąca kuponów

€15,00·(1 − 0,6736)/0,025 = €195,83

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,6736 = €673,62

Cena

P = €869,45

Odpowiedź

P = €869,45

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 4,535 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 50/1,06 = 47,17, t·PV = 47,17

t = 2: 50/1,124 = 44,50, t·PV = 89,00

t = 3: 50/1,191 = 41,98, t·PV = 125,94

t = 4: 50/1,262 = 39,60, t·PV = 158,42

t = 5: 1050/1,338 = 784,62, t·PV = 3 923,11

Duration

P = 957,88

D = 4 343,64/957,88 = 4,535

Odpowiedź

D = 4,535 lata

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,15 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €16 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·11% + 0,25·4,5%·(1 − 0,2) = 9,15%

Odpowiedź

WACC = 9,15%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 4,5 %

Wartości rynkowe

E = 1 000 000·€14,00 = €14 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3% + 0,6·4% = 5,4%

Wagi

V = €19 250 000, E/V = 0,7273, D/V = 0,2727

WACC

WACC = 0,7273·5,4% + 0,2727·3%·(1 − 0,3) = 4,5%

Odpowiedź

WACC = 4,5%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 2500 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Jednostkowa marża pokrycia

p − v = 28 − 8 = €20

Sztuki dla docelowego zysku

Q = (F + zysk)/(p − v) = (40 000 + 10 000)/20 = 2 500

Odpowiedź

Q = 2 500 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = 16,67 %

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Marża pokrycia i zysk

CM = 5 000·3 = €15 000

Π = 15 000 − 6 000 = €9 000

DOL

DOL = 15 000/9 000 = 1,667

Zmiana zysku

%ΔΠ = 1,667·(+10%) = +16,67%

Odpowiedź

%ΔΠ = +16,67%

Sprawdzenie: nowy zysk = 5 500·3 − 6 000 = €10 500,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance