Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 18 % rocznie z kapitalizacją dziennie. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 18%m = 365

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Za 4 lat chcesz mieć €75 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 3 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.

FV = €75 0003% / 12N = 48

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €40 000 i przynosi €10 000, €13 000, €9 500, €12 000, €12 000 na koniec lat od 1 do 5. Koszt kapitału wynosi 6 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 10 000CF₂ = 13 000CF₃ = 9 500CF₄ = 12 000CF₅ = 12 000

DPB = lata

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €5 500, €3 500, €5 000, €6 000 na koniec lat od 1 do 4. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 8 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.

r = 8%CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 3 500CF₃ = 5 000CF₄ = 6 000

MIRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 12 latach. Rentowność do wykupu wynosi 6% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 8%YTM = 6%n = 12

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja jest notowana po €975 przy rentowności do wykupu 3% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 6,4 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność wzrośnie o 50 punktów bazowych.

P₀ = €975y = 3%D = 6,4Δy = +50 bp

P = €

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €3 000 000 i dług o wartości €6 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt długu przed opodatkowaniem 3,5%, a stopa podatkowa 25%. Wyznacz WACC.

E = €3 000 000D = €6 000 000r_e = 10%r_d = 3,5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 5 000 000 akcji po €49,00 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €980 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 7%, a stopa podatkowa 20%. Współczynnik beta akcji to 1,8, stopa wolna od ryzyka 2,5%, a stopa zwrotu z rynku 6,5%. Wyznacz WACC.

β = 1,8r_f = 2,5%r_m = 6,5%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €12 za sztukę przy koszcie zmiennym €8 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €16 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €6 000?

F = €16 000p = €12v = €8zysk = €6 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 750 sztuk po €12 za sztukę, przy koszcie zmiennym €8 na sztukę i kosztach stałych €2 000. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży wzrośnie o 20 %?

Q = 750p = €12v = €8F = €2 000%ΔQ = +20%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 19,72 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,18/365 = 0,0004932

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,0004932)³⁶⁵ − 1 = 1,197 − 1 = 19,72%

Odpowiedź

EAR = 19,72%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 1473 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·4 = 48

Wpłata

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 75 000·0,0025/(1,127 − 1) = €1 472,57

Odpowiedź

A = €1 472,57

3.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 4,169 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 10 000/1,06 = 9 433,96 → Σ = 9 433,96

rok 2: 13 000/1,124 = 11 569,95 → Σ = 21 003,92

rok 3: 9 500/1,191 = 7 976,38 → Σ = 28 980,30

rok 4: 12 000/1,262 = 9 505,12 → Σ = 38 485,42

rok 5: 12 000/1,338 = 8 967,10 → Σ = 47 452,52

Ułamek ostatniego roku

DPB = 4 + 1 514,58/8 967,10 = 4,169

Odpowiedź

DPB = 4,169 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,625 lat).

4.NPV i IRR

Odpowiedź: MIRR = 22,35 %

Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Wartość końcowa wpływów

5 500·1,08³ = 6 928,42

3 500·1,08² = 4 082,40

5 000·1,08¹ = 5 400,00

6 000·1,08⁰ = 6 000,00

TV = 22 410,82

MIRR

MIRR = (22 410,82/10 000)^1/4 − 1 = 22,35%

Odpowiedź

MIRR = 22,35%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1169 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €40,00, i = 0,03, N = 24

Wartość bieżąca kuponów

€40,00·(1 − 0,4919)/0,03 = €677,42

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,4919 = €491,93

Cena

P = €1 169,36

Odpowiedź

P = €1 169,36

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 944,7 €

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Zmodyfikowana duration

D_mod = 6,4/1,03 = 6,214

Szacowana zmiana ceny

%ΔP ≈ −6,214·(0,005) = −3,107%

P ≈ 975·(1 − 0,03107) = €944,71

Odpowiedź

P = €944,71

Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,083 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €9 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667

WACC

WACC = 0,3333·10% + 0,6667·3,5%·(1 − 0,25) = 5,083%

Odpowiedź

WACC = 5,083%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,62 %

Wartości rynkowe

E = 5 000 000·€49,00 = €245 000 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,8·4% = 9,7%

Wagi

V = €249 900 000, E/V = 0,9804, D/V = 0,01961

WACC

WACC = 0,9804·9,7% + 0,01961·7%·(1 − 0,2) = 9,62%

Odpowiedź

WACC = 9,62%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 5500 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Jednostkowa marża pokrycia

p − v = 12 − 8 = €4

Sztuki dla docelowego zysku

Q = (F + zysk)/(p − v) = (16 000 + 6 000)/4 = 5 500

Odpowiedź

Q = 5 500 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = 60 %

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Marża pokrycia i zysk

CM = 750·4 = €3 000

Π = 3 000 − 2 000 = €1 000

DOL

DOL = 3 000/1 000 = 3

Zmiana zysku

%ΔΠ = 3·(+20%) = +60%

Odpowiedź

%ΔΠ = +60%

Sprawdzenie: nowy zysk = 900·4 − 2 000 = €1 600,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance