Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 2 lat potrzebujesz €15 000. Konto daje 4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €15 0004% / 12n = 2

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Za 16 lat chcesz mieć €10 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 3 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.

FV = €10 0003% / 12N = 192

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €50 000 i przynosi €15 500 na koniec każdego roku przez 6 lat. Koszt kapitału wynosi 10 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 10%CF₀ = −50 000CF₁ = 15 500CF₂ = 15 500CF₃ = 15 500CF₄ = 15 500CF₅ = 15 500CF₆ = 15 500

DPB = lata

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €17 500, €28 000, €21 000, €21 000 na koniec lat od 1 do 4. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 8 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 17 500CF₂ = 28 000CF₃ = 21 000CF₄ = 21 000

MIRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 3 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €1 085, gdy rentowność do wykupu wynosi 3%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 3P = €1 085YTM = 3%

c = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja jest notowana po €990 przy rentowności do wykupu 5% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 7,2 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność spadnie o 150 punktów bazowych.

P₀ = €990y = 5%D = 7,2Δy = −150 bp

P = €

7.CAPM i WACCŚredni

Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,5. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stawka podatku 20%. Wyznacz WACC.

D/E = 0,5r_e = 14%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 4 000 000 akcji po €14,00 za sztukę i 20 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3,5%, a stopa podatkowa 28%. Współczynnik beta akcji to 1,8, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a stopa zwrotu z rynku 6,5%. Wyznacz WACC.

β = 1,8r_f = 1,5%r_m = 6,5%r_d = 3,5%T = 28%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt można wytwarzać na dwa sposoby. Metoda A ma koszty stałe €15 000 rocznie i koszt zmienny €8 na sztukę. Bardziej zautomatyzowana metoda B ma koszty stałe €18 000 rocznie i koszt zmienny €5 na sztukę. Przy jakiej rocznej wielkości produkcji Q obie metody kosztują tyle samo?

F_A = €15 000v_A = €8F_B = €18 000v_B = €5

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 2 500 sztuk po €26 za sztukę, przy koszcie zmiennym €20 na sztukę i kosztach stałych €6 000. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży spadnie o 10 %?

Q = 2 500p = €26v = €20F = €6 000%ΔQ = −10%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 13849 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,04/12 = 0,003333

N = 12·2 = 24

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,083 = €13 848,59

Odpowiedź

PV = €13 848,59

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 40,64 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·16 = 192

Wpłata

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 10 000·0,0025/(1,615 − 1) = €40,64

Odpowiedź

A = €40,64

3.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 4,09 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 15 500/1,1 = 14 090,91 → Σ = 14 090,91

rok 2: 15 500/1,21 = 12 809,92 → Σ = 26 900,83

rok 3: 15 500/1,331 = 11 645,38 → Σ = 38 546,21

rok 4: 15 500/1,464 = 10 586,71 → Σ = 49 132,91

rok 5: 15 500/1,611 = 9 624,28 → Σ = 58 757,19

Ułamek ostatniego roku

DPB = 4 + 867,09/9 624,28 = 4,09

Odpowiedź

DPB = 4,09 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,226 lat).

4.NPV i IRR

Odpowiedź: MIRR = 18,44 %

Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Wartość końcowa wpływów

17 500·1,08³ = 22 044,96

28 000·1,08² = 32 659,20

21 000·1,08¹ = 22 680,00

21 000·1,08⁰ = 21 000,00

TV = 98 384,16

MIRR

MIRR = (98 384,16/50 000)^1/4 − 1 = 18,44%

Odpowiedź

MIRR = 18,44%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 6,005 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,03)⁻³ = €915,14

Kupon

C = (1085 − 915,14)/2,829 = €60,05

Oprocentowanie kuponu

c = 60,05/1000 = 6,005%

Odpowiedź

c = 6,005%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1092 €

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Zmodyfikowana duration

D_mod = 7,2/1,05 = 6,857

Szacowana zmiana ceny

%ΔP ≈ −6,857·(−0,015) = 10,29%

P ≈ 990·(1 + 0,1029) = €1 091,83

Odpowiedź

P = €1 091,83

Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 10,93 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi z D/E

E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667

D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·14% + 0,3333·6%·(1 − 0,2) = 10,93%

Odpowiedź

WACC = 10,93%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,4 %

Wartości rynkowe

E = 4 000 000·€14,00 = €56 000 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,8·5% = 10,5%

Wagi

V = €76 000 000, E/V = 0,7368, D/V = 0,2632

WACC

WACC = 0,7368·10,5% + 0,2632·3,5%·(1 − 0,28) = 8,4%

Odpowiedź

WACC = 8,4%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 1000 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Równe koszty całkowite

15 000 + 8Q = 18 000 + 5Q

Wyznacz Q

Q = (18 000 − 15 000)/(8 − 5) = 1 000

Odpowiedź

Q = 1 000 szt.

Poniżej tej wielkości tańsza jest metoda A; powyżej tańsza jest zautomatyzowana metoda B.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = −16,67 %

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Marża pokrycia i zysk

CM = 2 500·6 = €15 000

Π = 15 000 − 6 000 = €9 000

DOL

DOL = 15 000/9 000 = 1,667

Zmiana zysku

%ΔΠ = 1,667·(−10%) = −16,67%

Odpowiedź

%ΔΠ = −16,67%

Sprawdzenie: nowy zysk = 2 250·6 − 6 000 = €7 500,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance